Bisakah kita selalu menulis ulang distribusi miring yang benar dalam hal komposisi distribusi yang sewenang-wenang dan simetris?

Pertimbangkan distribusi yang dua kali dapat dibedakan dan simetris . Sekarang pertimbangkan distribusi berdiferensiasi dua kali kedua condong dalam arti bahwa: $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

di mana adalah pemesanan cembung van Zwet [0] sehingga setara dengan: $\preceq_c$ $(1)$

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

Pertimbangkan sekarang distribusi yang terdiferensiasi dua kali lipat memuaskan: $\mathcal{F}_Y$

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

Pertanyaan saya adalah: bisakah kita selalu menemukan distribusi dan distribusi simetris untuk menulis ulang setiap (ketiganya didefinisikan seperti di atas) dalam hal komposisi dan sebagai: $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Y$

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

atau tidak?

Edit:

Misalnya, jika adalah Weibull dengan parameter bentuk 3.602349 (sehingga simetris) dan adalah distribusi Weibull dengan parameter bentuk 3/2 (sehingga condong ke kanan), saya mendapat $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

dengan menetapkan sebagai distribusi Weibull dengan parameter bentuk 2.324553. Perhatikan bahwa ketiga distribusi memenuhi: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ Sebagaimana diminta. Saya ingin tahu apakah ini benar secara umum (dalam kondisi yang disebutkan).

[0] van Zwet, WR (1979). Berarti, median, mode II (1979). Statistika Neerlandica. Volume 33, Edisi 1, halaman 1--5.

distributions skewness pengguna603
sumber

Jawaban:

Tidak!

Contoh tandingan sederhana disediakan oleh distribusi Tukey (kasus khusus untuk dari distribusi Tukey dan ). $g$ $h=0$ $g$ $h$

Misalnya, biarkan menjadi Tukey dengan parameter dan menjadi Tukey dengan parameter dan distribusi Tukey yang mana . Sejak , tesis tiga distribusi ini memenuhi: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(yang pertama berasal dari definisi Tukey yang simetris jika , yang berikutnya dari [0], Teorema 2.1 (i)). $g$ $g=0$

Misalnya, untuk , kami memilikinya: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(untuk beberapa alasan, minimum tampaknya selalu dekat ). $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray Bentuk properti dari keluarga g-and-h dan Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), hlm. 1233-1250

Edit:

Dalam kasus Weibull, klaim tersebut benar:

Biarkan menjadi distribusi Weibull dengan parameter bentuk (parameter skala tidak memengaruhi pemesanan cembung sehingga kami dapat mengaturnya menjadi 1 tanpa kehilangan keumuman). Demikian juga , dan dan . $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

Catatan pertama bahwa setiap tiga distribusi Weibull selalu dapat dipesan dalam arti [0].

Selanjutnya, perhatikan bahwa:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

Sekarang, untuk Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

maka

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

sejak

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

Oleh karena itu, klaim selalu dapat dipenuhi dengan menetapkan . $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979). Berarti, median, mode II (1979). Statistika Neerlandica. Volume 33, Edisi 1, halaman 1--5.
[1] Groeneveld, RA (1985). Kecenderungan untuk keluarga weibull. Statistika Neerlandica. Volume 40, Edisi 3, halaman 135–140.

pengguna603
sumber