Permainan kartu: Jika saya menggambar empat kartu secara acak dan Anda menggambar enam, berapa probabilitas kartu tertinggi saya lebih tinggi dari kartu tertinggi Anda?

Pertanyaan sederhana ini memiliki jawaban yang rumit. Komplikasi disebabkan oleh dua faktor:

Kartu diambil tanpa penggantian. (Karena itu setiap undian mengubah isi geladak yang tersedia untuk undian berikutnya.)
Sebuah dek biasanya memiliki beberapa kartu dari setiap nilai, membuat dasi untuk kartu setinggi mungkin.

Karena komplikasi tidak dapat dihindari, mari kita membahas generalisasi yang cukup luas dari masalah ini dan kemudian melihat kasus-kasus khusus. Dalam generalisasi, "dek" terdiri dari sejumlah kartu. Kartu memiliki yang berbeda "nilai-nilai" yang dapat peringkat dari terendah hingga tertinggi. Biarkan ada dari nilai yang diberi peringkat (dengan terendah dan tertinggi). Satu pemain menarik dari dek dan pemain kedua menarik kartu . Apa peluang kartu dengan peringkat tertinggi di tangan pemain pertama benar - benar ketat? $m$ $n_i \ge 1$ $i$ $i=1$ $i=m$ $a\ge 0$ $b\ge 1$ nilainya lebih besar daripada kartu berperingkat tertinggi di tangan pemain kedua? Biarkan acara ini disebut : a "win" untuk pemain pertama. $W$

Salah satu cara untuk mencari tahu ini dimulai dengan mencatat bahwa prosedur ini setara dengan menggambar kartu dari dek, mengambil yang pertama keluar dari mereka menjadi kartu pemain pertama, dan sisanya menjadi kartu pemain kedua ini. Di antara kartu-kartu ini, biarkan menjadi nilai tertinggi dan biarkan menjadi jumlah kartu dengan nilai itu. Pemain pertama menang hanya ketika dia memegang semua dari kartu-kartu itu. Jumlah cara di mana kartu-kartu tertentu dapat ditemukan di antara kartu adalah , sedangkan jumlah cara memposisikan mereka kartu di antara semua yang diambil adalah $a+b$ $a$ $b$ $j$ $k \ge 1$ $k$ $a$ $\binom{a}{k}$ $k$ $a+b$ $\binom{a+b}{k}$ .

Sekarang kemungkinan adalah nilai tertinggi dan ada kartu tersebut adalah kesempatan untuk memilih dari kartu bernilai dan memilih sisa dari nilai. Karena ada undian yang dapat diperbandingkan dari kartu , jawabannya adalah $j$ $k$ $k$ $n_j$ $j$ $a+b-k$ $n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$ $\binom{N_m}{a+b}$ $a+b$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{N_{m}}{a + b})} \sum_{j = 1}^{m} \sum_{k = 1}^{n_{j}} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n_{j}}{k}) (\binom{N_{j - 1}}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$

(Dalam ungkapan ini, dan koefisien binomial apa pun yang nilai puncaknya lebih rendah dari nilai dasarnya, atau yang nilai dasarnya negatif, dianggap nol.) Ini adalah perhitungan yang relatif efisien, dengan waktu yang proporsional dengan jumlah kartu di dek. Karena melibatkan koefisien binomial secara eksklusif, maka dapat menerima perkiraan asimptotik untuk nilai dan . $N_0=0$ $a$ $b$

Dalam beberapa kasus, Anda mungkin ingin mengubah definisi "menang". Ini siap dilakukan: dengan menukar nilai dan , rumus yang sama menghitung peluang bahwa pemain kedua menang secara langsung. Perbedaan antara dan jumlah dari dua peluang itu adalah peluang seri. Anda dapat menetapkan peluang untuk pemain tersebut dalam proporsi yang Anda suka. $a$ $b$ $1$

Dalam banyak deck kartu bermain konvensional dan untuk . Karena itu marilah kita mempertimbangkan setiap dek di mana semua memiliki nilai yang sama, katakanlah . Dalam hal ini dan rumus sebelumnya sedikit disederhanakan $m=13$ $n_i=4$ $i=1, 2, \ldots, m$ $n_i$ $n$ $N_{j-1} = (j-1)n$

Pr (W) = \frac{1}{(\binom{m n}{a + b})} \sum_{k = 1}^{n} \frac{(\binom{a}{k})}{(\binom{a + b}{k})} (\binom{n}{k}) \sum_{j = 1}^{m} (\binom{(j - 1) n}{a + b - k}) .

$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$

Misalnya, dengan dan dalam dek kartu 52 umum dari 13 peringkat, , dan , . Simulasi 100.000 permainan game ini menghasilkan perkiraan , yang tepat untuk hampir tiga angka penting dan tidak berbeda secara signifikan dari apa yang dinyatakan oleh rumus. $m=13$ $n=4$ $a=4$ $b=6$ $\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$ $0.3159$

Berikut Rkode mudah dimodifikasi untuk memperkirakan untuk setiap dek: hanya perubahan , dan . Telah ditetapkan untuk menjalankan hanya 10.000 drama, yang harus mengambil kurang dari satu detik untuk dieksekusi dan bagus untuk dua angka penting dalam perkiraan. $\Pr(W)$ abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

Output dalam hal ini adalah

Estimasi Pr (a menang) = 0,3132 +/- 0,00464

whuber
sumber

jawaban bagus! Bolehkah saya bertanya apa yang Anda pikirkan jika masing-masing pemain bermain dari dek yang berbeda - apakah ini akan mengubah jawabannya？

Wudanao

Ya, itu akan mengubah jawaban karena apa yang diambil oleh satu orang akan terlepas dari apa yang diundi oleh pemain lain. Dalam beberapa hal itu adalah pertanyaan yang lebih mudah, karena jawabannya adalah perhitungan langsung dari kemungkinan bahwa satu variabel acak melebihi nilai yang lain yang tidak bergantung padanya.

whuber

Perhatikan bahwa, jika tidak ada ikatan apa pun, jawabannya sepele akan : dari kartu diambil, salah satu harus tertinggi, dan peluangnya berakhir di yang pertama tangan keluar dari . Tetapi seperti yang Anda perhatikan, kehadiran beberapa kartu dengan nilai yang sama di tumpukan mempersulit.

\frac{a}{a + b}

$\frac{a}{a+b}$

a + b

$a+b$

a

$a$

a + b

$a+b$

Ilmari Karonen

@Ilmari Benar. (Dan wawasan inilah yang awalnya menyarankan solusi yang saya sajikan.) Tanpa ikatan, selalu, jumlah hilang, dan fraksi faktor keluar, menunjukkan bagaimana rumus umum dikurangi menjadi yang sederhana ini.

n_{i} = 1

$n_i=1$

k

$k$

(\binom{a}{k}) / (\binom{a + b}{k}) = (\binom{a}{1}) / (\binom{a + b}{1}) = a / (a + b)

$\binom{a}{k}/\binom{a+b}{k} = \binom{a}{1}/\binom{a+b}{1} = a/(a+b)$

whuber

@WernerCD Benar, tetapi efek itu telah dijelaskan: jika jas memiliki peringkat, maka tidak ada ikatan, dan rumusnya berkurang menjadi apa yang dijelaskan oleh komentar limari.

Brilliand

Permainan kartu: Jika saya menggambar empat kartu secara acak dan Anda menggambar enam, berapa probabilitas kartu tertinggi saya lebih tinggi dari kartu tertinggi Anda?

Jawaban: