Nilai yang diharapkan dari x dalam distribusi normal, DIBERIKAN bahwa itu di bawah nilai tertentu

Hanya ingin tahu apakah mungkin untuk menemukan nilai yang diharapkan dari x jika terdistribusi secara normal, mengingat bahwa itu di bawah nilai tertentu (misalnya, di bawah nilai rata-rata).

Variabel terdistribusi normal dengan mean dan varians memiliki distribusi yang sama dengan mana adalah variabel normal standar. Yang perlu Anda ketahui tentang adalah ituμ σ 2 σ Z + μ Z $X$$\mu$$\sigma^2$$\sigma Z + \mu$$Z$$Z$

• fungsi distribusi kumulatifnya disebut ,$\Phi$
• ia memiliki fungsi kepadatan probabilitas , dan itu$\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
• $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .

Dua peluru pertama hanyalah notasi dan definisi: yang ketiga adalah satu-satunya properti khusus dari distribusi normal yang kita perlukan.

Biarkan "nilai tertentu" menjadi . Mengantisipasi perubahan dari ke , tentukanX $T$$X$$Z$

$$t = (T-\mu)/\sigma,$$

maka

$$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$$

Kemudian, dimulai dengan definisi ekspektasi bersyarat kita dapat mengeksploitasi linearitasnya untuk diperoleh

$$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$$

Teorema Dasar Kalkulus menegaskan bahwa setiap integral dari turunan ditemukan dengan mengevaluasi fungsi pada titik akhir: . Ini berlaku untuk kedua integral. Karena dan harus menghilang pada , kami memperoleh$\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$$\Phi$$\phi$$-\infty$

$$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$$

Ini adalah rata-rata asli dikurangi istilah koreksi yang proporsional dengan Inverse Mills Ratio .

Seperti yang kita harapkan, rasio Mills terbalik untuk harus positif dan melebihi (yang grafiknya ditunjukkan dengan garis merah bertitik). Itu harus menyusut ke saat tumbuh besar, untuk kemudian pemotongan pada (atau ) hampir tidak berubah. Ketika tumbuh sangat negatif, rasio Mills terbalik harus mendekati karena ekor dari distribusi normal berkurang begitu cepat sehingga hampir semua probabilitas di ekor kiri terkonsentrasi di dekat sisi kanannya (pada ).$t$$-t$$0$$t$$Z=t$$X=T$$t$$-t$$t$

Akhirnya, ketika berada di mean, mana Rasio Mills terbalik sama dengan . Ini menyiratkan nilai yang diharapkan dari , terpotong pada rata-rata (yang merupakan negatif dari distribusi setengah normal ), adalah kali standar deviasi di bawah rata-rata aslinya.$T = \mu$$t=0$$\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$$X$$-\sqrt{2/\pi}$

Secara umum, biarkan memiliki fungsi distribusi .$X$$F(X)$

Kami memiliki, untuk , Anda dapat memperoleh kasus khusus dengan mengambil, misalnya , yang menghasilkan .$x\in[c_1,c_2]$

$$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$$ $c_1=-\infty$$F(c_1)=0$

Menggunakan cdf kondisional, Anda mungkin mendapatkan kepadatan bersyarat (misalnya, untuk ), yang dapat digunakan untuk ekspektasi bersyarat.$f(x|X<0)=2\phi(x)$$X\sim N(0,1)$

Dalam contoh Anda, integrasi dengan bagian memberi seperti pada jawaban @ whuber.

$$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$$