Apakah variabel acak

15

Bisakah kita mengatakan sesuatu tentang ketergantungan variabel acak dan fungsi variabel acak? Misalnya apakah bergantung pada ?X 2 XX2X

Rohit Banga
sumber
5
Jika dan independen, maka hampir pasti konstan. Artinya, terdapat sehingga . X f ( X ) f ( X ) a P ( f ( X ) = a ) = 1Xf(X)f(X)aP(f(X)=a)=1
kardinal
2
@ cardinal -mengapa tidak membuat itu menjadi jawaban ?
Karl
@ cardinal, saya ingin meminta John untuk menguraikan komentarnya. Saya menerima begitu saja bahwa fungsi yang dipertimbangkan adalah fungsi deterministik yang diberikan. Dalam prosesnya, saya akhirnya menulis argumen untuk hasil yang Anda sebutkan sebagai gantinya. Setiap komentar sangat disambut dan dihargai.
NRH
Ya, tergantung pada , karena jika Anda tahu maka Anda tahu . dan hanya independen jika pengetahuan tentang nilai tidak memengaruhi pengetahuan Anda tentang distribusiX 2 X X X 2 X Y X YX2XXX2XYXY .
Henry
2
@iamrohitbanga: Jika maka hampir pasti. Jadi, tidak bergantung pada dalam kasus khusus ini. X { - 1 , 1 } X 2 = 1 X X 2X{1,1}X2=1XX2
kardinal

Jawaban:

18

Ini adalah bukti dari komentar @ cardinal dengan sedikit perubahan. Jika XX dan f ( X )f(X) independen maka P ( X A f - 1 ( B ) ) = P ( X A , f ( X ) B )= P ( X A ) P ( f ( X ) B )= P ( X A ) P ( X f - 1 ( B ) )

P(XAf1(B))===P(XA,f(X)B)P(XA)P(f(X)B)P(XA)P(Xf1(B))
MengambilA=f-1(B)A=f1(B)menghasilkan persamaan P(f(X)B)=P(f(X)B)2,
P(f(X)B)=P(f(X)B)2,
yang memiliki dua solusi 0 dan 1. Dengan demikianP(f(X)B ) { 0 , 1 }P(f(X)B){0,1} untuk semua BB . Secara umum lengkap, tidak mungkin untuk mengatakan lebih banyak. Jika XX dan f ( X )f(X) adalah independen, maka f ( X )f(X) adalah variabel sedemikian rupa sehingga untuk B apa punBitu dalam BB atau dalam B cBc dengan probabilitas 1. Untuk mengatakan lebih banyak, seseorang memerlukan asumsi lebih, misalnya singleton menetapkan { b }{b} dapat diukur.

Namun, perincian pada tingkat teoretis ukuran tampaknya tidak menjadi perhatian utama OP. Jika XX adalah nyata dan ff adalah fungsi nyata (dan kami menggunakan Borel σ-σ aljabar, katakanlah), kemudian mengambil B = ( - , b ]B=(,b] maka fungsi distribusi untuk distribusi f ( X ) hanya mengambil nilai 0 dan 1, maka ada b di mana ia melompat dari 0 ke 1 dan P ( f ( X ) = b ) = 1.

Pada akhirnya, jawaban untuk pertanyaan OP adalah bahwa X dan f ( X ) umumnya tergantung dan hanya independen dalam keadaan yang sangat khusus. Selain itu, ukuran Dirac δ f ( x ) selalu memenuhi syarat untuk distribusi bersyarat f ( X ) diberikan X = x , yang merupakan cara formal untuk mengatakan bahwa mengetahui X = x maka Anda juga tahu persis apa yang f ( X )adalah. Bentuk ketergantungan khusus ini dengan distribusi bersyarat yang merosot adalah karakteristik untuk fungsi variabel acak.

NRH
sumber
(+1) Maaf. Ketika saya menyusun jawaban saya, saya tidak mendapatkan pembaruan yang Anda kirimkan juga. :)
kardinal
21

Lemma : Misalkan X adalah variabel acak dan misalkan f (fungsi Borel) sehingga X dan f ( X ) independen. Maka f ( X ) konstan hampir pasti. Yaitu, ada beberapa a R sehingga P ( f ( X ) = a ) = 1 .

Buktinya di bawah ini; tapi, pertama, beberapa komentar. Pengukuran Borel hanyalah kondisi teknis untuk memastikan bahwa kami dapat menetapkan probabilitas dengan cara yang masuk akal dan konsisten. Pernyataan "hampir pasti" juga hanya teknis.

Inti dari lemma adalah bahwa jika kita ingin X dan f ( X ) independen, maka satu-satunya kandidat kita adalah fungsi dari bentuk f ( x ) = a .

Bandingkan ini dengan kasus fungsi f sehingga X dan f ( X ) tidak berkorelasi . Ini adalah kondisi yang jauh lebih lemah. Memang, menganggap setiap variabel random X dengan mean nol, hingga saat ketiga mutlak dan yang simetris tentang nol. Ambil f ( x ) = x 2 , seperti pada contoh dalam pertanyaan. Kemudian C o v ( X , f ( X ) ) = E X f (X ) = E X 3 = 0 , jadi X dan f ( X ) = X 2 tidak berkorelasi.

Di bawah ini, saya memberikan bukti paling sederhana yang bisa saya berikan untuk lemma. Saya sudah membuatnya sangat verbose sehingga semua detail sejelas mungkin. Jika ada yang melihat cara untuk meningkatkan atau menyederhanakannya, saya akan senang mengetahui.

Ide pembuktian : Secara intuitif, jika kita tahu X , maka kita tahu f ( X ) . Jadi, kita perlu menemukan beberapa kejadian dalam σ ( X ) , aljabar sigma yang dihasilkan oleh X , yang menghubungkan pengetahuan kita tentang X dengan f ( X ) . Kemudian, kami menggunakan informasi itu bersama dengan asumsi independensi X dan f ( X ) untuk menunjukkan bahwa pilihan kami untuk f telah sangat dibatasi.

Bukti lemma : Ingat bahwa X dan Y independen jika dan hanya jika untuk semua A σ ( X ) dan B σ ( Y ) , P ( X A , Y B ) = P ( X A ) P ( Y B ) . Misalkan Y = f ( X ) untuk beberapa fungsi Borel yang dapat diukur f such that X and Y are independent. Define A(y)={ω:f(X(ω))y}. Then, A(y)={ω:X(ω)f1((,y])}

and since (,y] is a Borel set and f is Borel-measurable, then f1((,y]) is also a Borel set. This implies that A(y)σ(X) (by definition(!) of σ(X)).

Since X and Y are assumed independent and A(y)σ(X), then P(XA(y),Yy)=P(XA(y))P(Yy)=P(f(X)y)P(f(X)y),

and this holds for all yR. But, by definition of A(y) P(XA(y),Yy)=P(f(X)y,Yy)=P(f(X)y).
Combining these last two, we get that for every yR, P(f(X)y)=P(f(X)y)P(f(X)y),
so P(f(X)y)=0 or P(f(X)y)=1. This means there must be some constant aR such that the distribution function of f(X) jumps from zero to one at a. In other words, f(X)=a almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if f(X)=a almost surely, then X and f(X) are independent.

cardinal
sumber
+1, I should be sorry - to steal your argument is not very polite. It's great that you spelled out the difference between independence and being uncorrelated in this context.
NRH
No "stealing" involved, nor impoliteness. :) Though many of the ideas and comments are similar (as you'd expect for a question like this!), I think the two posts are nicely complementary. In particular, I like how at the beginning of your post you didn't constrain yourself to real-valued random variables.
cardinal
@NRH accepting your answer as the initial part of your proof seems easier to grasp for a novice like me. Nevertheless +1 cardinal for your answer.
Rohit Banga