Mengapa sistem peringkat Elo menggunakan aturan pembaruan yang salah?

Sistem pemeringkatan Elo menggunakan algoritma minimisasi gradient descent dari fungsi kehilangan lintas-entropi antara probabilitas yang diharapkan dan yang diamati dari suatu hasil dalam perbandingan berpasangan. Kita dapat menulis fungsi kerugian umum sebagai

$$E=-\sum_{n,i} p_i Log (q_i)$$

di mana jumlah dilakukan atas semua hasil $i$ dan semua lawan $n$ . $p_i$ adalah frekuensi yang diamati dari peristiwa i dan q i frekuensi yang diharapkan.$_i$$q_i$

Dalam hal hanya dua hasil yang mungkin (menang atau kalah) dan satu lawan yang kita miliki

$$E=-p Log (q)-(1-p)Log(1-q)$$

Jika $\pi_i$ adalah peringkat pemain $i$ dan $\pi_j$ adalah peringkat pemain $j$ kita dapat membangun probabilitas yang diharapkan sebagai

$$q_i=\frac{e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$ $$q_j=\frac{e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$$ maka aturan pembaruan gradient descent memberi tahu penggunaan

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i-p_i)$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j-p_j)$$

di mana dan p i adalah probabilitas yang diharapkan dan diamati dari kemenangan pemain i terhadap pemain j . Ini adalah aturan pembaruan.$q_i$$p_i$$i$$j$two outcomes

Dengan adanya undian, kita dapat menggeneralisasi model di atas termasuk dan hasil ketiga dengan probabilitas

qi(w)=eπ

$$q(d)=\frac{\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$ qj(w)=eπ $$q_i(w)=\frac{ e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$ $$q_j(w)=\frac{ e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$$

Dan kita dapat membangun fungsi Rugi sebagai

$$E=-p(w)Log(q(w))-(1-p(w)-p(d))Log(q(l))-p(d)Log(q(d))$$

di mana masing-masing kemungkinan yang diamati , dan dan q ( w ) , q ( l ) , q ( d ) kemungkinan yang diharapkan , dan . Dalam kasus terakhir, aturan pembaruan adalah$p(w),p(l),p(d)$winloosedraw$q(w),q(l),q(d)$winloosedraw

$$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i(w)+\frac{q_i(d)}{2}-p_i(w)-\frac{p_i(d)}{2})$$

$$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j(w)+\frac{q_j(d)}{2}-p_j(w)-\frac{p_j(d)}{2})$$

di mana dan q j ( d ) adalah probabilitas yang diharapkan dari pemain i untuk menang dan bermain imbang melawan pemain j . Dan di mana p i ( w ) dan p i ( d ) adalah probabilitas yang diamati dari pemain i untuk menang dan bermain imbang melawan pemain j . Ini adalah aturan pembaruan.$q_j(w)$$q_j(d)$$i$$j$$p_i(w)$$p_i(d)$$i$$j$three outcome

Pertanyaannya adalah, mengapa sistem peringkat Elo menggunakan two outcomesaturan pembaruan bahkan di hadapan undian?

Probabilitas menggambar, sebagai lawan memiliki hasil yang menentukan, tidak ditentukan dalam sistem Elo. Sebaliknya imbang dianggap - baik dalam kinerja yang diharapkan dan dalam hasil pertandingan - setengah menang dan setengah kerugian.

Contoh dari halaman Elo di Wikipedia : "Skor yang diharapkan pemain adalah probabilitasnya untuk menang ditambah setengah dari kemungkinan menggambar. Dengan demikian skor yang diharapkan dari 0,75 bisa mewakili 75% peluang menang, 25% peluang kalah, dan peluang 0% menggambar. Di ekstrem yang lain itu bisa mewakili peluang menang 50%, peluang kalah 0%, dan peluang menggambar 50%. "

Probabilitas menggambar, seperti yang saya katakan, tidak ditentukan , dan itu mengarah ke two outcomeaturan pembaruan sederhana , $R_A^\prime = R_A + K(S_A - E_A)$$S_A=1 \cdot (n_w + 0.5 \cdot n_d ) + 0 \cdot (0.5 \cdot n_d + n_l)$$S_A=1$$S_A=0.5$$S_A=0$

Seperti Elo, sistem Glicko tidak memodelkan pengundian tetapi membuat pembaruan sebagai rata-rata kemenangan dan kekalahan (per pemain). Sebaliknya, dalam sistem peringkat TrueSkill , "undian dimodelkan dengan mengasumsikan bahwa perbedaan kinerja dalam permainan tertentu kecil. Oleh karena itu, peluang menggambar hanya tergantung pada perbedaan kekuatan bermain dua pemain. Namun, temuan empiris dalam permainan pertunjukan catur yang menarik lebih cenderung di antara pemain profesional daripada pemula. Oleh karena itu, kesempatan menggambar juga tampaknya tergantung pada tingkat keterampilan. "

Pendekatan ini membutuhkan pemodelan spesifik yang berbeda untuk setiap game (dan TrueSkill diterapkan pada beberapa game Microsoft Xbox), jadi itu cocok di Elo dan Glicko (dirancang hanya untuk catur), dan itu bukan untuk rankade , sistem peringkat multiguna kami.