Bagaimana cara kerja Interpolasi Kriging?

Saya sedang mengerjakan masalah di mana saya perlu menggunakan Kriging untuk memprediksi nilai beberapa variabel berdasarkan beberapa variabel sekitarnya. Saya ingin menerapkan kodenya sendiri. Jadi, saya sudah membaca terlalu banyak dokumen untuk memahami cara kerjanya, tetapi saya sangat bingung. Secara umum, saya memahami bahwa ini adalah rata-rata tertimbang, tetapi saya tidak dapat sepenuhnya memahami proses penghitungan bobot kemudian memprediksi nilai suatu variabel.

Adakah yang bisa menjelaskan kepada saya secara sederhana aspek matematika dari metode interpolasi ini dan bagaimana cara kerjanya?

Jawaban ini terdiri dari bagian pendahuluan yang saya tulis baru-baru ini untuk sebuah makalah yang menjelaskan perpanjangan (sederhana) spatio-temporal dari "Universal Kriging" (UK), yang dengan sendirinya merupakan generalisasi sederhana dari "Ordinary Kriging." Ini memiliki tiga sub-bagian: Teori memberikan model statistik dan asumsi; Estimasi meninjau secara singkat estimasi parameter kuadrat-terkecil; dan Prediksi menunjukkan bagaimana kriging cocok dengan kerangka Generalized Least Squares (GLS). Saya telah berupaya untuk mengadopsi notasi yang akrab bagi para ahli statistik, terutama pengunjung situs ini, dan untuk menggunakan konsep yang dijelaskan dengan baik di sini.

Untuk meringkas, kriging adalah Prediksi Linear Tidak Cocok Terbaik (BLUP) dari bidang acak. Ini berarti bahwa nilai prediksi pada lokasi yang tidak dicampuri diperoleh sebagai kombinasi linear dari nilai dan kovariat yang diamati di lokasi sampel. Nilai (tidak diketahui, acak) di sana memiliki korelasi diasumsikan dengan nilai sampel (dan nilai sampel berkorelasi di antara mereka sendiri). Informasi korelasi ini siap diterjemahkan ke dalam varian prediksi. Seseorang memilih koefisien dalam kombinasi linier ("bobot kriging") yang membuat varians ini sekecil mungkin, tunduk pada kondisi bias nol dalam prediksi. Detailnya mengikuti.

---

Teori

$z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$$p$$\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$$^\prime$

$\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$$y_1 = 1$$y_2$$y_3$$y_i$$i$$y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$$z_i$$Z_i$$y_i$$y_i$$Z_i$

$${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$$ $Z_i$$\beta$$i$$\hat\beta_i$$\beta_i$$i = 1, 2, \ldots, n$$i = 0$$z_0$$y_0^\prime\beta$$0$. Misalnya, prediksi sering dibuat untuk memetakan suatu permukaan di sepanjang kisi-kisi titik reguler yang cocok untuk berkontur.

Perkiraan

$Z_i$$Z_i$$Z_j$$c_{ij}$

$$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$$ ${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$$n$${\bf Y} = (y_{ij})$$n$$p$$y_i^\prime, 1 \le i \le n$$\mathbf C = (c_{ij})$$n$$n$$p$$n$$\mathbf H$$\mathbf z$$\hat \beta$$\hat\beta$$\mathbf C = (c_{ij})$

Ramalan

$z_0$

$$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$$ $\lambda_i$$z_0$$z_0$$Z_i$$Z_0$ $$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$$ $n+1$$Z_0$$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$ $$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$$

$\beta$

$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$$

$\lambda$$\hat Z_0 - Z_0$

$${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$$ $\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$$Z_0$$Z_i,\ i \ge 1$$c_{00}$$Z_0$

$\lambda$$p$$\mu$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$$n+p$

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$$ $\mathbf 0$$p$$p$$\mathbf 1$$n$$n$$\lambda$ $${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$$

(Pembaca yang akrab dengan regresi berganda mungkin merasa terbantu untuk membandingkan solusi ini dengan solusi berbasis kovarians dari persamaan kuadrat biasa biasa , yang terlihat hampir persis sama, tetapi tanpa istilah pengali Lagrange.)

$\lambda$$[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$$Z_0$$\hat z_0$