Apa distribusi , di mana adalah distribusi yang seragam?

Saya memiliki empat variabel bebas terdistribusi seragam , masing-masing dalam . Saya ingin menghitung distribusi . Saya menghitung distribusi menjadi (maka ), dan dari menjadi Sekarang, distribusi jumlah u_1 + u_2 adalah ( u_1, \, u_2 juga independen) f_ {u_1 + u_2} (x) = \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} f_1 (xy) f_2 (y) dy = - \ frac {1} {4} \ int_0 ^ 4 \ frac {1- \ sqrt {xy}} {\ sqrt {xy}} \ cdot \ ln \ frac {y} {4} dy, karena y \ in (0,4]$a,b,c,d$$[0,1]$$(a-d)^2+4bc$$u_2=4bc$

$$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$$ $u_2\in(0,4]$$u_1=(a-d)^2$ $$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$$ $u_1+u_2$$u_1,\, u_2$ $$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$$ $y\in(0,4]$. Di sini, ia harus $x>y$ sehingga integralnya sama dengan $$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$$ Sekarang saya masukkan ke Mathematica dan dapatkan $$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$$

Saya membuat empat set independen $a,b,c,d$ yang terdiri dari $10^6$ nomor masing-masing dan menarik histogram $(a-d)^2+4bc$ :

dan menggambar plot $f_{u_1+u_2}(x)$ :

Secara umum, plotnya mirip dengan histogram, tetapi pada interval $(0,5)$ sebagian besar negatif (root berada di 2,27034). Dan integral dari bagian positif adalah $\approx 0.77$ .

Dimana kesalahannya? Atau di mana saya melewatkan sesuatu?

EDIT: Saya memperbesar histogram untuk menampilkan PDF.

EDIT 2: Saya pikir saya tahu di mana masalah dalam alasan saya - dalam batas integrasi. Karena dan , saya tidak bisa hanya . Plot menunjukkan wilayah yang harus saya integrasikan di:x - y ∈ ( 0 , 1 ] ∫ x $y\in (0,4]$$x-y\in(0,1]$$\int_0^x$

Ini berarti saya memiliki untuk (itu sebabnya bagian dari saya benar), dalam , dan in . Sayangnya, Mathematica gagal menghitung dua integral terakhir (well, ia menghitung yang kedua, dengan ada unit imajiner dalam output yang merusak segalanya ... ). y ∈ ( 0 , 1 ] f ∫ x x - 1 y ∈ ( 1 , 4 ] ∫ 4 x - 1 y ∈ ( 4 , 5 $\int_0^x$$y\in(0,1]$$f$$\int_{x-1}^x$$y\in(1,4]$$\int_{x-1}^4$$y\in (4,5]$

EDIT 3: Tampaknya Mathematica CAN dapat menghitung tiga integral terakhir dengan kode berikut:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

yang memberikan jawaban yang benar :)

Seringkali membantu menggunakan fungsi distribusi kumulatif.

Pertama,

$$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$$

Lanjut,

$$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$$

Biarkan berkisar antara nilai terkecil ( ) dan terbesar ( ) dari . Menulis dengan CDF dan dengan PDF , kita perlu menghitung$\delta$$0$$5$$(a-d)^2 + 4 b c$$x=(a-d)^2$$F$$y=4 b c$$g = G^\prime$

$$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$$

Kita bisa berharap ini menjadi jahat - distribusi PDF yang seragam tidak kontinu dan dengan demikian harus menghasilkan jeda dalam definisi - jadi agak menakjubkan bahwa Mathematica mendapatkan formulir tertutup (yang saya tidak akan mereproduksi di sini). Membedakannya sehubungan dengan memberikan kepadatan yang diinginkan. Ini didefinisikan secara berurutan dalam tiga interval. Dalam ,$H$$\delta$$0 \lt \delta \lt 1$

$$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$$

Dalam ,$1 \lt \delta \lt 4$

$$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$$

Dan dalam ,$4 \lt \delta \lt 5$

$$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$$

Gambar ini menunjukkan sebidang pada histogram realisasi . Keduanya hampir tidak bisa dibedakan, menunjukkan kebenaran rumus untuk .$h$$10^6$$(a-d)^2 + 4bc$$h$

---

Berikut ini adalah solusi Mathematica yang hampir tanpa pemikiran, kasar . Secara otomatis ini mengotomatiskan segala sesuatu tentang perhitungan. Misalnya, ia bahkan akan menghitung rentang variabel yang dihasilkan:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

Inilah semua integrasi dan diferensiasi. (Sabar; menghitung butuh beberapa menit.)$H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

Akhirnya, simulasi dan perbandingan dengan grafik :$h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

Seperti OP dan whuber, saya akan menggunakan independensi untuk memecah ini menjadi masalah yang lebih sederhana:

Misalkan . Maka pdf dari , katakanlah adalah:$X = (a-d)^2$$X$$f(x)$

Biarkan . Maka pdf dari , katakanlah adalah:$Y = 4 b c$$Y$$g(y)$

Masalahnya mengurangi kini menemukan pdf dari . Mungkin ada banyak cara untuk melakukan ini, tetapi yang paling sederhana bagi saya adalah menggunakan fungsi yang disebut dari versi perkembangan saat ini dari mathStatica . Sayangnya, ini tidak tersedia dalam rilis publik pada saat ini, tetapi di sini adalah input:$X + Y$TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

yang mengembalikan pdf dari sebagai fungsi piecewise:$Z = X + Y$

Berikut adalah plot dari pdf yang baru saja diturunkan, katakanlah :$h(z)$

Periksa cepat Monte Carlo

Diagram berikut membandingkan perkiraan Monte Carlo empiris dari pdf (berlekuk biru) ke pdf teoritis yang diturunkan di atas (putus-putus merah). Terlihat baik.