Formula Schuette – Nesbitt

Saya membaca artikel tentang formula Schuette-Nesbitt , yang digambarkan sebagai "generalisasi dari prinsip inklusi-pengecualian" , yang memiliki versi kombinatorial dan probabilistik. Situs web lain memberikan bukti untuk acara dependen (unduhan pdf) , dan menemukan yang ketiga membandingkannya dengan Waring's Theorem (pdf)

Namun, saya masih bingung. Saya mencoba menemukan contoh yang jelas dengan menggunakan probabilitas diskrit (untuk kesederhanaan) bahwa langkah-langkahnya jelas dari satu baris ke yang berikutnya - untuk membantu dalam memahami rumus secara keseluruhan.

Apakah ada referensi yang baik, atau jawaban yang dapat memberikan contoh singkat yang berhasil?

Saya telah menemukan contoh dalam buku berikut ini dan jawaban saya adalah versi modifikasi dari Bab 8.4.8.6 buku ini untuk membuatnya ringkas dan jelas.

Gerber, Hans U. "Asuransi jiwa." Matematika Asuransi Jiwa. Springer Berlin Heidelberg, 1990.

$B_1,\cdots B_n$ adalah peristiwa yang sewenang-wenang. $N$ adalah variabel acak yang berkisar $\{0, 1, ... , m\}$. Untuk koefisien nyata yang berubah-ubah$c_1,\cdots c_m$, rumus Schuette – Nesbitt adalah identitas operator berikut antara operator yang bergeser $E:c_n\mapsto c_{n+1}$ dan operator perbedaan $\Delta:c_n\mapsto c_{n+1}-c_{n}$. Menurut definisi mereka terkait melalui$E=id+\Delta$, rumus SN adalah

$$\sum_{n=0}^{m}c_n\cdot Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ dimana $S_k=\sum_{j_1,\cdots j_k}Pr(B_{j1}\cap\cdots \cap B_{jk})$ adalah jumlah simetris di antara ini $n$ acara dan $S_0=1$. Catat itu$[\Delta^{k}c_0]$ berarti operator berbeda yang bekerja $c_0$. Sebagai contoh,$[\Delta^{2}c_0]=\Delta^{1}(c_1-c_0)=\Delta^{1}(c_1)-\Delta^{1}(c_0)=(c_2-c_1)-(c_1-c_0)=c_2-2c_1+c_0$. Kedua operator linear dan karenanya mereka memiliki representasi dalam hal matriks, oleh karena itu mereka dapat diperluas ke cincin dan modul polinomial (karena dua objek ini memiliki "dasar", secara longgar.) $$E=\left(\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & 0 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & 0 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$ $$\Delta=\left(\begin{array}{ccccc} -1 & 0 & 0 & \cdots\\ 1 & -1 & 0 & \cdots\\ 0 & 1 & -1 & \cdots\\ 0 & 0 & 1 & \cdots \end{array}\right)$$

Buktinya memanfaatkan trik indikator dan perluasan polinomial operator $\prod_{j=1}^{m}(1+I_{B_j}\Delta)$ dan fakta itu $I_A\cdot I_B=I_{A\cap B}$ dan $\Delta$ bolak-balik dengan indikator, saya akan merujuk Anda ke buku Gerber.

Jika kita memilih $c_0=1$ dan lainnya $c_1=c_2=\cdots=c_n=1$, maka rumus SN menjadi prinsip inklusi-pengecualian seperti di bawah ini:

$$\sum_{n=1}^{m} Pr(N=n)=\sum_{k=0}^{m}\Delta^{k}c_0S_k=c_0 S_0+(c_1-c_0)S_1+(c_2-2c_1+c_0)S_2+\cdots =S_1-S_2+S_3+\cdots+(-1)^{n}S_n=[Pr(B_1)+\cdots+Pr(B_n)]-[Pr(B_1\cap B_2)+\cdots+Pr(B_{n-1}\cap B_{n})]+\cdots+(-1)^n\cdot Pr(S_1\cap\cdots \cap S_n)$$

Teorema Waring memberikan probabilitas yang tepat $r$ diluar $n$ acara $B_1,\cdots B_n$terjadi. Dengan demikian dapat diturunkan dengan menentukan$c_r=1$ dan lainnya $c$= 0. Formula SN menjadi

$$Pr(N=r)=\sum_{k=0}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k=\sum_{k=r}^{m}[\Delta^{k}c_0]S_k$$ karena istilah apa pun $[\Delta^{k}c_0]=0$ kapan $k<r$, perubahan variabel $t=k-r$ akan menghasilkan formula Waring.

Ada contoh tugas amplop dalam buku Gerber yang bisa Anda lihat, tetapi saran saya adalah memahaminya dalam hal aljabar operator, bukan probabilitas.