Berapakah distribusi maksimum sepasang imbang, di mana minimum adalah statistik pesanan dari minimum lain?

8

Pertimbangkan gambar bebas dari cdf , yang didefinisikan lebih dari 0-1, di mana dan adalah bilangan bulat. Secara sewenang-wenang mengelompokkan undian menjadi grup dengan nilai m di setiap grup. Lihatlah nilai minimum di setiap kelompok. Ambil grup yang memiliki minima paling besar. Sekarang, apa distribusi yang menentukan nilai maksimum dalam grup itu? Secara umum, berapakah distribusi untuk statistik urutan ke- dari draws dari , di mana urutan ke-k dari draw m itu juga merupakan urutan ke-p dari n draw dari statistik urutan ke-k?nmF(x)nmnjmF(x)

Semua itu adalah yang paling abstrak, jadi di sini adalah contoh yang lebih konkret. Pertimbangkan 8 draw . Kelompokkan menjadi 4 pasang 2. Bandingkan nilai minimum pada setiap pasangan. Pilih pasangan dengan tertinggi dari 4 minimum ini. Label yang menggambar "a". Beri label nilai lain dalam pasangan yang sama dengan "b". Apa distribusi ? Kita tahu . Kita tahu a adalah maksimum 4 minimum , dari . Apa itu ?F(x)Fb(b)b>aF(x)Fa(a)=(1(1F(x))2)4Fb(b)

OctaviaQ
sumber
bolehkah saya bertanya di mana Anda mendapatkan masalah ini?
Theta30
JandR Anda menghapus komentar Anda di mana Anda menunjukkan metode ad-hoc menggunakan bobot.
Theta30
ya, saya pikir itu sekarang tidak relevan, karena Anda memberikan solusi yang jauh lebih baik. Saya akan melihat apakah saya dapat menemukan apa yang saya tulis.
OctaviaQ
ya, tapi mungkin ada beberapa ide menarik
Theta30
Metode brute force saya: Saya pikir akan menjadi campuran dari bobot statistik pesanan yang dapat diprediksi dari n * m yang diambil dari F (x). Misalnya, untuk dan , kita mulai dengan 8 pengundian independen dari F (x), dan > statistik urutan ke-4. Untuk menemukan PR dari setiap urutan stat 5-8, saya menulis sebuah skrip komputer yang menuliskan setiap permutasi dari 1-8, dan sebuah algoritma yang menemukan untuk setiap permutasi (menggunakan statistik order sendiri sebagai perbandingan ) (lanjutan ...)Xfinaln=4m=2XfinalXfinal
OctaviaQ

Jawaban:

4

Saya menjawab ini: "Kelompokkan secara acak undian menjadi n kelompok dengan nilai m di setiap kelompok. Lihatlah nilai minimum di setiap kelompok. Ambil kelompok yang memiliki minima terbesar. Sekarang, distribusi apa yang menentukan nilai maksimum dalam grup itu? "
Biarkan variabel acak ke-i dalam grup j dan ( ) fungsi densitas (cdf). Biarkan maksimum dan minimum dalam grup . Biarkan variabel yang dihasilkan di akhir semua proses. Kami ingin menghitung yangXi,jf(xi,j)F(xi,j)
Xmax,j,Xmin,jjXfinalP(Xfinal<x)

P(Xmax,j0<x and Xmin,j0=maxjXmin,j and 1j0n)
=nP(Xmax,1<x and Xmin,1=maxjXmin,j)
=nmP(X1,1<x and X1,1=maxi(Xi,1) and Xmin,1=maxjXmin,j)
=nmP(X1,1<x,X1,1>X2,1>maxj=2nXmin,j,,X1,1>Xm,1>maxj=2nXmin,j)
Sekarang, mari dan . Y=maxj=2nXmin,jW=X1,1

Pengingat: jika adalah dengan pdf (cdf) ( ), maka memiliki pdf dan memiliki pdf . Dengan menggunakan ini, kita mendapatkan pdf dari adalah X1,XnhHXminhmin=nh(1H)n1Xmaxhmax=nhHn1
Y

g(y)=(n1)mf(1F)m1[0ymf(z)(1F(z))m1dz]n2,n2

Perhatikan bahwa adalah statistik yang tidak tergantung pada grup 1 sehingga kepadatan sambungannya dengan variabel apa pun di grup 1 adalah produk kepadatan. Sekarang probabilitas di atas menjadi Dengan mengambil turunan dari wrt integral dan menggunakan rumus binomial kita memperoleh pdf dari . Y

nm0xf(w)[0wywf(x2,1)dx2,1ywf(xm,1)dxm,1g(y)dy]dw
=nm0xf(w)[0w(F(w)F(y))m1g(y)dy]dw
xXfinal

Contoh: seragam, , . KemudianXn=4m=3

g(y)=9(1y)2(3y+y33y2)2,

P(Xfinal<x)=(1/55)x12(12/55)x11
+(6/5)x10(27/7)x9+(54/7)x8(324/35)x7+(27/5)x6.

Mean adalah dan adalah .Xfinal374/455=0.8220.145

Theta30
sumber
Terima kasih untuk bantuannya! Tetapi, ketika saya mengikuti proses persis untuk contoh sederhana (seperti F (x) = x, n = 4, m = 2), pdf yang dihasilkan tidak berintegrasi ke 1 atau terlihat masuk akal. Jadi, saya tidak yakin apa yang salah. Juga, saya tidak jelas tentang g (y) Anda. Saya pikir itu akan membutuhkan m: hmin (y) = m * f (y) (1-F (y)) ^ (m-1)  g (y) = (n-1) * hmin (y) * [ Integral lebih dari 0 hingga x hmin (y)] ^ (n-2) atau, lebih sederhana, G (y) = (1- (1-F (y)) ^ m) ^ (n-1), g ( y) = G '(y). Tetapi, bahkan jika saya mengganti ini dengan g (y), pdf terakhir masih tidak masuk akal. Apakah saya menafsirkan sesuatu yang salah?
OctaviaQ
@ JANDR saya memeriksanya kembali hari ini; lihat koreksi
Theta30
FYI, saya awalnya memposting pertanyaan ini di mathoverflow.net. Saya memposting tautan ke jawaban Anda di sini, tetapi jika Anda tertarik untuk memposting ulang atau menautkan jawaban Anda sendiri, pertanyaannya ada di sini: tautan
OctaviaQ
1

Karena undian berasal dari sampel iid, kami hanya dapat mempertimbangkan undian yang dipilih. Pertimbangkan . Sekarang kita tahu bahwa berasal dari dan bahwa . Begitu,f(x)=dF(x)dxbf(x)b>a

p(b|a)=f(b)a1f(y)dyb>a,0 otherwise.

Minimum dalam undian dua adalah m

p2(m)=f(m)m1f(y)dy.

Minimum terbesar di antara 4 undian adalah

p(a)=p2(a)[0ap2(z)dz]3=f(a)a1f(x)dx[0af(y)(y1f(z)dz)dy]3.

Jadi akhirnya,

p(b)=01[u(a)f(b)a1f(y)dyf(a)a1f(x)dx[0af(y)(y1f(z)dz)dy]3]da.
highBandWidth
sumber
Terima kasih untuk elaborasi. Saya mencoba untuk mendapatkan ini! Dua pertanyaan: Apa yang Anda (a) dalam persamaan terakhir? dan, apakah Anda yakin persamaan Anda untuk p2 (m) benar? Ini berbeda (dan muncul dengan jawaban yang berbeda) dari semua persamaan minimum lainnya yang pernah saya lihat. BTW - Saya sangat menghargai bantuan Anda!
OctaviaQ
Jawaban ini tampaknya tidak memiliki beberapa koefisien Binomial .
whuber