Penyimpangan absolut rata-rata (MAD) dan SD dari distribusi yang berbeda

Untuk data yang terdistribusi normal, simpangan baku dan median simpangan absolut MAD dihubungkan oleh:$\sigma$$\text{MAD}$

$\sigma=\Phi^{-1}(3/4)\cdot \text{MAD}\approx1.4826\cdot\text{MAD},$

di mana adalah fungsi distribusi kumulatif untuk distribusi normal standar.$\Phi()$

Apakah ada hubungan serupa untuk distribusi lainnya?

Untuk menjawab pertanyaan dalam komentar:

Saya ingin tahu apakah ada rentang nilai konstan yang mungkin

(Saya menganggap pertanyaannya adalah tentang penyimpangan median dari median.)

1. Rasio SD ke MAD dapat dibuat besar secara sewenang-wenang.

   Ambil beberapa distribusi dengan rasio SD ke MAD yang diberikan. Pegang tengah + ϵ dari distribusi tetap (yang berarti MAD tidak berubah). Pindahkan ekor lebih jauh. SD meningkat. Terus bergerak melampaui batas terbatas apa pun yang diberikan.$50\%+\epsilon$

2. Rasio SD ke MAD dapat dengan mudah dibuat mendekati seperti yang diinginkan dengan (misalnya) menempatkan25%+ϵpada±1dan50%-2ϵpada 0.$\sqrt{\frac{1}{2}}$$25\%+\epsilon$$\pm 1$$50\%-2\epsilon$

   Saya pikir itu akan sekecil itu.

$f(x;\theta)$$\text{MAD}_\theta=G^{-1}_\theta(1/2)$$G_\theta$$|X-\text{MED}_\theta|$$\text{MED}_\theta=F^{-1}_\theta(1/2)$$F_\theta$$X$

1. $\theta=\sigma$$\text{MAD}_\theta$$\sigma$
2. Dalam kasus kapan $\theta=(\mu,\sigma)$ dan $\mu$ adalah parameter lokasi, yaitu kapan $$f(x;\theta)=g(\{x-\mu\}/\sigma)/\sigma$$ Kemudian distribusi $|X-\text{MED}_\theta|$ sama dengan distribusi $|\{X-\mu\}-\{\text{MED}_\theta-\mu\}|$, dan karenanya independen dari $\mu$. Karena itu$G_\theta$ hanya tergantung pada $\sigma$ dan $\text{MAD}_\theta$ sekali lagi merupakan fungsi deterministik dari $\sigma$.