Formula untuk regresi linier sederhana tertimbang

Halaman wiki ini Regresi linier sederhana memiliki rumus untuk menghitung dan . Adakah yang bisa memberi tahu saya cara menurunkan rumus dalam case tertimbang? $\alpha$ $\beta$

regression Wei Shi
sumber

Derivasi ada dalam artikel Wikipedia: en.wikipedia.org/wiki/Least_squares#Weighted_least_squares

whuber

Jawaban:

Pikirkan kotak terkecil biasa (OLS) sebagai "kotak hitam" untuk meminimalkan

\sum_{i = 1}^{n} (y_{i} - (α 1 + β x_{i}))^{2}

$\sum_{i=1}^n (y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$

untuk tabel data yang baris adalah tuple . $i^\text{th}$ $(1, x_i, y_i)$

Ketika ada bobot, tentu positif, kita dapat menuliskannya sebagai . Menurut definisi, kuadrat terkecil tertimbang meminimalkan $w_i^2$

\sum_{i = 1}^{n} w_{i}^{2} (y_{i} - (α 1 + β x_{i}))^{2}

$\sum_{i=1}^n w_i^2(y_i - (\alpha 1 + \beta x_i))^2$

= \sum_{i = 1}^{n} (w_{i} y_{i} - (α w_{i} + β w_{i} x_{i}))^{2} .

$=\sum_{i=1}^n (w_i y_i - (\alpha w_i + \beta w_i x_i))^2 .$

Tapi justru itulah yang diminimalkan kotak hitam OLS ketika diberi tabel data yang terdiri dari tupel "tertimbang" . Jadi, menerapkan rumus OLS pada tuple tertimbang ini memberikan rumus yang Anda cari. $(w_i, w_i x_i, w_i y_i)$

whuber
sumber