Distribusi probabilitas untuk gelombang sinus yang bising

Saya mencari untuk secara analitik menghitung distribusi probabilitas titik pengambilan sampel dari fungsi berosilasi ketika ada beberapa kesalahan pengukuran. Saya sudah menghitung distribusi probabilitas untuk bagian "tanpa suara" (saya akan menempatkan ini di akhir), tetapi saya tidak tahu bagaimana memasukkan "suara".

Perkiraan angka

Agar lebih jelas, bayangkan ada beberapa fungsi yang Anda pilih secara acak dari satu poin selama satu siklus tunggal; jika Anda membuang titik-titik dalam histogram Anda akan mendapatkan sesuatu yang berkaitan dengan distribusi.$y(x) = \sin(x)$

Tanpa suara

Sebagai contoh di sini adalah dan histogram yang sesuai$sin(x)$

Dengan kebisingan

Sekarang jika ada beberapa kesalahan pengukuran maka itu akan mengubah bentuk histogram (dan karenanya saya pikir distribusi yang mendasarinya). Sebagai contoh

Perhitungan Analitik

Jadi semoga saya meyakinkan Anda bahwa ada beberapa perbedaan di antara keduanya, sekarang saya akan menulis bagaimana saya menghitung kasus "tanpa suara":

Tanpa suara

$$y(x) = \sin(x)$$

Maka jika waktu di mana sampel kami didistribusikan secara seragam maka distribusi probabilitas untuk harus memenuhi:$y$

$$P(y) dy = \frac{dx}{2\pi}$$

sejak itu

$$\frac{dx}{dy} = \frac{d}{dy}\left(\arcsin(y)\right) = \frac{1}{\sqrt{1 - y^{2}}}$$

dan sebagainya

$$P(y) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1 - y^{2}}}$$

yang dengan normalisasi yang sesuai sesuai dengan histogram yang dihasilkan dalam case "no noise".

Dengan kebisingan

Jadi pertanyaan saya adalah: bagaimana saya bisa memasukkan secara analitis noise dalam distribusi? Saya pikir itu adalah sesuatu seperti menggabungkan distribusi dengan cara yang cerdas, atau termasuk kebisingan dalam definisi , tapi saya kehabisan ide dan cara untuk bergerak maju sehingga petunjuk / tip atau bahkan bacaan yang direkomendasikan akan jauh dihargai.$y(x)$

Itu tergantung pada bagaimana proses kebisingan terstruktur.

Dengan asumsi bahwa saya sudah mengerti situasi Anda dengan benar, jika kebisingan aditif, independen dan terdistribusi secara identik, Anda hanya akan mengambil konvolusi dari kepadatan kebisingan dengan kepadatan .$Y$

Jika adalah seragam acak dalam satu siklus, proses bersuara Anda bersyarat pada adalah , yang mengalami degenerasi, dengan rata-rata dan varians 0. Distribusi marginal adalah campuran seragam dari distribusi yang merosot tersebut ; sepertinya Anda telah mengerjakan distribusi itu dengan benar; sebut kepadatan itu .$X_i$$x$$Y_i|X_i=x_i$$\sin(x_i)$$Y$$g$

Jika, misalnya derau Anda adalah , artinya , maka adalah densitas jumlah derau dengan campuran yang seragam dari variabel-variabel yang tidak bersuara.$\epsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$$f(\epsilon)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\,\sigma}\exp({\frac{\epsilon^2}{2\sigma^2}})$$f*g$

$f_{Y+\epsilon}(z) = (f*g)(z) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(y)f_{\epsilon}(z-y)dy=\int_{-\infty}^{\infty} f_{Y}(z-w)f_{\epsilon}(w)dw$

(Konvolusi ini dilakukan secara numerik; saya tidak tahu seberapa mudahnya integral itu dalam contoh ini, karena saya tidak mencobanya.)

Saya pikir ekspresi yang diturunkan untuk P (x) dimatikan oleh faktor dua. Waktu sampel yang terdistribusi secara merata sama dengan fase distribusi yang merata selama interval -pi, pi. Fungsi trigonometri mendistribusikan probabilitas selama interval y {-1,1}. Mengintegrasikan P (y) selama interval ini harus = 1, bukan 2 seperti yang diperoleh menggunakan integrand Anda di atas. Saya pikir P (y) = 1 / (pi Sqrt (1-y ^ 2))