Mengapa harga saham lognormal tetapi pengembalian saham normal

Kecuali fakta bahwa pengembalian bisa negatif sementara harga harus positif, apakah ada alasan lain di balik pemodelan harga saham sebagai log distribusi normal tetapi pemodelan pengembalian saham sebagai distribusi normal?

Beberapa poin untuk memulai dengan:

i) konvensi distribusi ini paling banter. Mereka bisa menjadi model yang nyaman, tetapi kita tidak harus bingung dengan distribusi aktual harga saham atau pengembalian.

ii) harga saham biasanya meningkat (tetapi dalam kasus apa pun, ada perubahan berarti; rata-rata tidak stabil). Jadi ketika kita berbicara tentang distribusi harga saham, kita biasanya tidak mengacu pada distribusi marjinal mereka, tetapi distribusi bersyarat . Jadi kita sering cenderung berarti sesuatu yang lebih seperti kira-kira lognormal dengan mean berubah dengan (khusus, kondisional lognormal, tergantung pada beberapa nilai sebelumnya dan waktu yang berlalu). Varians juga dapat berubah, dalam hal ini berarti dan kondisi varians pada beberapa nilai dan waktu sebelumnya. Jadi misalnya, dengan "harga saham mendekati lognormal", kami mungkin berarti $y_t$$t$$y_t/y_{t-1} \, \dot{\sim}\, \log N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$atau dengan kata lain$y_t \, \dot{\sim}\, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$

iii) Perhatikan bahwa untuk kecil , .$x$$\log(1+x)\approx x$

Untuk pengembalian periode pendek, seperti pengembalian harian, umumnya, cukup kecil, biasanya pada urutan 0,01 - atau sering kurang - dalam nilai absolut.$\frac{y_{t}-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Ketika rasio itu kecil,$\log(y_t)-\log(y_{t-1})=\log(\frac{y_t}{y_{t-1}})\approx \frac{y_t}{y_{t-1}}-1=\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}$

Artinya, pengembaliannya kira-kira adalah perubahan harga log stock (coba dengan harga saham asli dan lihat harganya hampir sama).

Jadi jika

$$y_t \, \dot{\sim} \, \log N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

yang menyiratkan

$$\log(y_t) \, \dot{\sim} \, N(\log(y_{t-1})+\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$

kemudian

$$\frac{y_t-y_{t-1}}{y_{t-1}}\approx \log(y_t)-\log(y_{t-1})\,\dot{\sim}\,N(\mu_\text{daily},\sigma^2_\text{daily})$$