Jumlah warna berbeda yang diharapkan saat menggambar tanpa penggantian

Pertimbangkan sebuah guci yang berisi $N$ bola dari $P$ warna yang berbeda, dengan $p_i$ menjadi proporsi bola warna $i$ antara $N$ bola ( $\sum_i p_i = 1$ ). Saya menggambar $n \leq N$ bola dari guci tanpa penggantian dan melihat jumlah $\gamma$ warna yang berbeda di antara bola yang ditarik. Berapakah harapan $\gamma$ sebagai fungsi $n/N$ , tergantung pada sifat yang sesuai dari distribusi $\mathbf{p}$ ?

Untuk memberikan lebih banyak wawasan: jika $N = P$ dan $p_i = 1/P$ untuk semua $i$ , maka saya akan selalu melihat persis $n$ warna, yaitu, $\gamma = P (n/N)$ . Jika tidak, dapat ditunjukkan bahwa ekspektasi $\gamma$ adalah $>P(n/N)$ . Untuk tetap $P$dan $N$ , akan terlihat bahwa faktor yang digunakan untuk mengalikan $n/N$ akan maksimal ketika $\mathbf{p}$seragam; mungkin jumlah warna berbeda yang diharapkan terlihat dibatasi sebagai fungsi dan, misalnya, entropi p ?$n/N$$\mathbf{p}$

Ini tampaknya terkait dengan masalah pengumpul kupon, kecuali bahwa pengambilan sampel dilakukan tanpa penggantian, dan distribusi kupon tidak seragam.

Misalkan Anda memiliki warna di mana k ≤ N . Mari b i menunjukkan jumlah warna bola saya jadi Σ b i = N . Mari B = { b 1 , ... , b k } dan membiarkan E i ( B ) notate set yang terdiri dari i himpunan bagian unsur B . Misalkan Q n , c menunjukkan jumlah cara yang dapat kita pilih $k$$k \leq N$$b_i$$i$$\sum b_i = N$$B = \{b_1, \ldots, b_k\}$$E_i(B)$$i$$B$$Q_{n, c}$$n$elemen dari himpunan di atas sedemikian sehingga jumlah warna yang berbeda dalam himpunan yang dipilih adalah . Untuk c = 1 rumusnya sederhana:$c$$c = 1$

$$Q_{n, 1} = \sum_{E \in E_{1}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n}$$

Untuk kita dapat menghitung set bola ukuran n yang memiliki paling banyak 2 warna dikurangi jumlah set yang memiliki tepat 1 warna:$c = 2$$n$$1$

$$Q_{n,2} = \sum_{E \in E_{2}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \binom{k - 1}{1}Q_{n, 1}$$

adalah jumlah cara Anda dapat menambahkan warna ke warna tetap sehingga Anda akan memiliki 2 warna jika Anda memilikitotal warnak. Rumus generik adalah jika Anda memilikic1warna tetap dan Anda ingin membuatc2warna darinya sambil memilikitotal warnak(c1≤c2≤k) adalah ( k-c$\binom{k - 1}{1}$$k$$c_1$$c_2$$k$$c_1 \leq c_2 \leq k$. Sekarang kita memiliki segalanya untuk memperoleh rumus umum untukQn,c:$\binom{k - c_1}{c_2 - c_1}$$Q_{n, c}$

$$Q_{n, c} = \sum_{E \in E_{c}(B)}\binom{\sum_{e \in E}e}{n} - \sum_{i = 1}^{c - 1}\binom{k - i}{c - i}Q_{n, i}$$

Probabilitas bahwa Anda akan memiliki warna persis jika Anda menggambar n bola adalah:$c$$n$

$$P_{n, c} = Q_{n, c} / \binom{N}{n}$$

Perhatikan juga bahwa jikay>x.$\binom{x}{y} = 0$$y > x$

Mungkin ada kasus-kasus khusus di mana formula dapat disederhanakan. Saya tidak repot-repot menemukan penyederhanaan kali ini.

Nilai yang diharapkan Anda mencari jumlah warna tergantung pada adalah sebagai berikut:$n$

$$\gamma_{n} = \sum_{i = 1}^{k} P_{n, i} * i$$