Bagaimana cara mengembangkan intuisi untuk probabilitas bersyarat?

Dalam video ceramah dari Harvard's Statistics 110: Probability course yang dapat ditemukan di iTunes dan YouTube, saya mengalami masalah ini. Saya mencoba merangkumnya di sini:

Misalkan kita diberikan dua kartu acak dari dek standar.

1. Berapa probabilitas bahwa kedua kartu as itu diberikan bahwa kita memiliki setidaknya satu kartu as?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Sejak memiliki setidaknya satu ace tersirat jika Anda memiliki kedua kartu As, persimpangan dapat dikurangi menjadi hanya $P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Ini adil

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Berapa probabilitas bahwa kedua kartu as itu diberikan bahwa kita memiliki kartu as?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Sekarang, di suatu tempat di sepanjang contoh ini saya tersesat ...

$\frac{3}{51}$$3$$51$

Tetapi dalam contoh sebelumnya, matematika tampak baik-baik saja (dan saya percaya dosen tidak akan memberikan contoh ini jika itu salah ...), tetapi saya tidak dapat membungkus kepala saya dengan ini.

Bagaimana saya mendapatkan intuisi untuk masalah ini?

Untuk membantu intuisi, pertimbangkan memvisualisasikan dua peristiwa (set hasil):

1. Acara pengkondisian, yang merupakan informasi yang diberikan.

2. Peristiwa terkondisi, yang probabilitasnya ingin Anda temukan.

Probabilitas kondisional ditemukan dengan membagi peluang yang kedua dengan peluang yang pertama.

---

Ada $52 \times 51$kemungkinan cara yang sama untuk menangani dua kartu secara acak. Cara mudah untuk memvisualisasikan transaksi ini adalah dengan meletakkannya di tabel dengan baris (misalnya) yang menunjukkan kartu pertama dibagikan dan kolom kartu kedua dalam transaksi. Ini bagian dari tabel ini, dengan elips ($\cdots$) menunjuk bagian yang hilang. Perhatikan bahwa karena kedua kartu tidak dapat sama, tidak ada entri di sepanjang diagonal utama tabel. Baris dan kolom dipesan dari ace hingga raja:

Pertanyaan fokus pada kartu As. Informasi "kami memiliki setidaknya satu kartu as" menempatkan pasangan dalam empat baris pertama atau empat kolom pertama. Dalam pikiran kita, kita dapat memvisualisasikannya secara skematis dengan mewarnai baris dan kolom ini. Saya telah mewarnainya merah, tetapi di mana kedua ace muncul, saya telah mewarnainya hitam:

Ada $2\times 6 = 12$ pasang semua kartu As dan $2\times (4\times 48) = 384$ pasangan lain dengan setidaknya satu kartu as, dengan total $12+384=396$pasangan di mana Anda mengkondisikan, sebagaimana diwakili oleh area merah dan hitam. Karena semua pasangan seperti itu memiliki kemungkinan yang sama, kemungkinan yang pertama adalah

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Ini adalah fraksi hitam dari wilayah merah + hitam.

Pertanyaan kedua menegaskan "kita memiliki kartu as sekop." Hal ini terkait hanya untuk sangat pertama baris dan kolom:

Sekarang ada saja $2\times 3 = 6$ pasangan tersebut dengan dua ace dan $2\times 48=96$ pasangan lain dengan kartu as sekop, dengan total $96+6 = 102$pasangan seperti itu. Beralasan persis seperti sebelumnya, peluang dua ace adalah

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Sekali lagi itu adalah fraksi hitam dari wilayah merah + hitam.

Untuk referensi, gambar terakhir termasuk yang sebelumnya ditampilkan dalam warna pink dan abu-abu. Membandingkan daerah ini mengungkapkan apa yang terjadi: dalam beralih dari pertanyaan pertama ke yang kedua, jumlah pasangan dalam acara pengkondisian (merah muda) turun menjadi sekitar seperempat dari jumlah aslinya (merah), sementara jumlah pasangan yang dimaksud turun hanya setengah (dari abu-abu ke hitam,$12$ untuk $6$).

---

Saya telah menemukan angka-angka skematis seperti itu sangat membantu bahkan - mungkin terutama - ketika mencoba memahami konsep probabilitas yang lebih rumit, seperti penyaringan aljabar sigma .

Cara berbeda untuk mengatur masalah yang mengarah ke perhitungan kedua adalah sebagai berikut:

Anda menggambar dua kartu dari dek. Berapa probabilitas dua ace mengingat kartu pertama yang Anda buat adalah kartu As?

Ungkapan ini membuatnya lebih mudah untuk kontras dengan perhitungan pertama. Peluang yang mendasari telah memilih dua ace tidak berubah, tetapi kondisi untuk memiliki yang pertama kartu sebagai kartu as lebih membatasi daripada kondisi jika salah satu kartu as. Ini berarti bahwa dalam perhitungan probabilitas bersyarat kombinasi yang diinginkan harus terjadi di antara opsi yang lebih sedikit, sehingga memiliki probabilitas yang lebih besar.

Dua frasa yang berbeda (kartu as sekop versus kartu pertama sebagai kartu as) adalah serupa, karena mereka memecah simetri / pertukaran di antara kartu As: suit atau order tidak dapat ditukar secara sewenang-wenang.

Awalnya sulit bagi saya untuk memiliki intuisi.

Satu ide adalah membawa masalah ke batas. Dalam kasus ini, seperti yang dicatat Steve, satu masalah yang identik adalah: Tetangga saya punya dua anak - Anda tahu salah satunya adalah laki-laki. Berapa probabilitas dia memiliki dua anak laki-laki.

Gagasan pertama saya adalah, oke, saya punya satu anak laki-laki, anak yang lain memiliki 1/2 kesempatan untuk menjadi perempuan dan 1/2 menjadi laki-laki, tetapi dalam hal ini Anda tidak mengambil semua informasi yang memberi Anda fakta ( setidaknya Anda memiliki anak laki-laki) karena secara implisit anak laki-laki ini dapat menjadi anak bungsu menjadi anak perempuan tertua atau sebaliknya atau keduanya laki-laki yang berarti hanya satu dari tiga kemungkinan hasil yang menguntungkan.

Seperti yang saya katakan ini lebih mudah membawa masalah ke batas ...

Kasus 1: Kasus abstrak identik dengan "kami memiliki kartu as" -> Dalam hal ini bayangkan Tetangga saya tidak memiliki 2 anak tetapi 27, dan Anda tahu 26 adalah anak laki-laki, kemungkinan ini hampir nol. Dalam hal ini jelas bahwa informasi ini memberi Anda banyak informasi bahwa anak yang tersisa secara probabilistik adalah seorang gadis. Tepatnya, Anda akan memiliki satu case dengan 27 anak laki-laki, katakanlah sebuah tuple (b, b, b, b, b, b ..., b) dan 27 kasus dengan 1 gadis dan 26 anak laki-laki (g, b, b , b ...), (b, g, b, b, b ...), sehingga probabilitas semua anak laki-laki adalah 1/27, secara umum akan menjadi 1 / (N +1)

case2: Informasi nyata. Ini akan identik dengan "Kami memiliki kartu as sekop" atau "Kami memiliki kartu pertama menjadi kartu as". Dalam hal ini bayangkan tetangga kita memiliki 26 anak semuanya laki-laki dan sedang mengandung anak ke-27. Berapa probabilitas bahwa yang ke-27 akan menjadi laki-laki?

Dengan case2 saya cukup yakin kita semua dapat memahami intuisi yang dibutuhkan untuk masalah probabilitas kondisional yang tidak begitu jelas.

Jika Anda ingin menjadi kaya, Anda harus bertaruh pada kasus pertama dengan 26 anak laki-laki dan ke-27 karena kurangnya informasi konkret berarti banyak energi probabilistik pada anak yang tersisa, sedangkan dalam kasus kedua, entropinya sangat besar, kami memiliki bukan informasi untuk tahu di mana bertaruh.

Saya harap ini bermanfaat

Bagaimana orang bisa tahu jawabannya adalah 3/51 tanpa menghitung?

Jika Anda mengambil kartu as di tempat pertama. Saya tahu kartu mana yang ada dalam paket. Jadi masih ada 3 kartu As di 51 kartu. jadi untuk yang kedua, Anda memiliki peluang 3/51 untuk memiliki dua ace.

Dan bagaimana cara memahami perbedaan antara kedua skenario secara intuitif?

Itu karena "Memiliki satu kartu as" termasuk dalam "Memiliki dua kartu As". Tapi "Memiliki kartu as sekop" tidak termasuk dalam "Memiliki dua kartu As". Inilah bedanya.

Bahkan, jika Anda memiliki dua kartu as, Anda memiliki satu kartu as tetapi mungkin bukan kartu sekop. Jadi, ini bukan probabilitas yang sama.

Jawaban ini untuk pos lain yang telah dipindahkan untuk yang ini ..