Apa distribusi rasio dua variabel acak Poisson?

22

Saya punya pertanyaan tentang variabel acak. Mari kita asumsikan bahwa kita memiliki dua variabel acak dan Y . Katakanlah X adalah Poisson terdistribusi dengan parameter λ 1 , dan Y adalah Poisson terdistribusi dengan parameter λ 2 .XYXλ1Yλ2

Ketika Anda membuat fraktur dari dan menyebutnya variabel acak Z , bagaimana ini didistribusikan dan apa artinya? Apakah λ 1 / λ 2 ?X/YZλ1/λ2

MarkDollar
sumber
Saya kebetulan menemukan ini ketika mencari referensi. Rasio inferensi untuk Poisson cukup mudah, bagi yang sering ( Nelson, 1970, "Interval Keyakinan untuk Rasio Dua Interval Poisson Berarti dan Interval Prediktor Poisson" ) dan Bayesia sama (Lindley, 1965). Tidak ada masalah dengan nol penyebut!
Frank Tuyl
4
Penanya asli, dan yang lain, mungkin tertarik untuk mencatat bahwa memiliki nilai harapan ( λ 1 / λ 2 ) ( 1 - e - λ 2 ) . Tergantung pada aplikasi Anda ini mungkin digunakan lebih besar dari X / Y . Untuk lebih jelasnya lihat makalah saya di Journal of Analytical Atomic Spectrometry, 28 , 52, yang disebut "Bias statistik dalam rasio isotop" dengan DOI: 10.1039 / C2JA10205F. X/(Y+1)(λ1/λ2)(1eλ2)X/Y
Ini adalah masalah yang sering dijumpai di Astronomi. Solusi Bayesian dikerjakan oleh Park et al. (2006, Astrophysical Journal, v652, 610-628, Bayesian Estimation of Hardness Ratios: Modeling and Computations ). Mereka termasuk kontaminasi latar belakang dalam perawatan mereka.
user78543
Dari abstrak, tidak jelas bahwa mereka berurusan dengan pertanyaan OP. Bagaimana tulisan ini terkait dengan distribusi rasio dua variabel acak Poisson?
Andy

Jawaban:

11

Saya pikir Anda akan memiliki masalah dengan itu. Karena variabel Y akan memiliki nol, X / Y akan memiliki beberapa nilai yang tidak ditentukan sehingga Anda tidak akan mendapatkan distribusi.

bill_080
sumber
9
+1 Benar. Tapi (untuk menghindari kemungkinan kebingungan) masalahnya bukan hanya bisa sama dengan 0 : itu juga bisa sama dengan 0 dengan probabilitas positif. (Misalnya, hasil bagi normals memiliki distribusi meskipun penyebutnya dapat sama dengan 0. ) Dengan demikian, X / Y tidak terdefinisi dengan probabilitas positif, menjadikan rata-rata (dan setiap momen lainnya) juga tidak terdefinisi. Y00 0X/Y
whuber
1
+1, tetapi dalam literatur tentang tingkat penemuan palsu orang tidak memiliki masalah dengan mana X adalah positif sebenarnya dan Y adalah jumlah total positif :-). Selalu dipahami, berdasarkan konvensi, bahwa 0 dari 0 sama dengan 0.X/YXY
NRH
1
@ Mark: Mungkin lebih baik untuk menanyakan itu sebagai pertanyaan baru, dan untuk mendapatkan spesifik spesifik tentang apa yang ingin Anda capai.
bill_080
2
@NRH Dalam kasus Anda ada ketergantungan yang kuat dari pada Y . Itu benar-benar mengubah banyak hal, karena sekarang probabilitas rasio positif: nol adalah nol. XY
Whuber
1
@whuber, tentu saja itu benar. Terima kasih telah menunjukkannya. Saya hanya berpikir bahwa mungkin ada beberapa konvensi yang tidak disebutkan untuk membuat masalah menjadi bermakna. Tetapi dari komentar @ MarkDollar di atas, tampaknya bukan itu masalahnya.
NRH
8

Dengan menyadari bahwa rasio sebenarnya bukan himpunan terukur yang terdefinisi dengan baik, kami mendefinisikan kembali rasio sebagai himpunan terukur yang benar dengan penjumlahan selamar>0, danXdanYadalah variabel Poisson independen. Kepadatan mengikuti dari teorema Radon-Nykodym.

P[XYr]:=P[XrY]=y=0x=0ryλ2yy!eλ2λ1xx!eλ1
r>0XY
Aaron Sheldon
sumber
Misalkan berasal dari distribusi Poisson nol terpotong. Maka jawabannya adalah:Y
Brash Equilibrium