Hyper-volume kontur dari Gaussian multivarian

Saya mencari assymptotic yang ( ) nilai (log dari penentu) kovarians dari % dari pengamatan dengan jarak Eucledian terkecil ke asal dalam sampel berukuran diambil dari, katakanlah , Gaussian standar bivariat. $n\rightarrow \infty$ $\alpha$ $n$

- Volume hiper-elips sebanding dengan faktor penentu matriks kovariansnya, maka judulnya--

--Dengan standar bivariat Gaussian, maksud saya mana adalah vektor 0 dengan panjang 2 dan adalah matriks identitas peringkat 2 .--- $\mathcal{N}_2(0_2,\pmb I_2)$ $0_2$ $\pmb I_2$

Mudah dilihat dengan simulasi daripada saat sekitar : $\alpha=52/70$ $\approx -1.28$

library(MASS)
n<-10000
p<-2
x<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(2))
h<-ceiling(0.714286*n)
p<-ncol(x)
w<-mahalanobis(x,rep(0,p),diag(p),inverted=TRUE) #These are eucledian distances, because the covariance used is the identity matrix
s<-(1:n)[order(w)][1:h]
log(det(cov(x[s,])))

tapi saya tidak ingat bagaimana mendapatkan ekspresi yang tepat (atau gagal itu, perkiraan yang lebih baik) untuk ini.

r mathematical-statistics simulation pengguna603
sumber

Dalam teks Anda, Anda tidak mengatakan apa-apa tentang parameter distribusi bivariat. Juga, sepertinya kode Anda adalah tentang Mahalanobis d, bukan Euclidean d.

ttnphns

Dengan standar gaussian yang saya maksud adalah yang berpusat pada titik asal dan dengan kovarian Identitas (saya akan mengeditnya). Jarak mahalanobis ke matriks kovarians Identitas == Jarak Eucledian.

user603

Jika Anda menggunakan kode, atau mencari bantuan dengan kode, harap sebutkan bahasa atau program apa yang Anda gunakan.

serigala

Jawaban:

Ok, pertanyaan ini sepertinya muncul dari waktu ke waktu jadi saya pikir saya akan memberikan jawaban umum.

Dalam [1], penulis menunjukkan bahwa jika dengan symmetric positive definite positive, dan $\pmb x_i\sim \mathcal{N}_p(\pmb \mu,\pmb \varSigma),i=1,\ldots,n$ $\varSigma$ $S_{\alpha}$

\begin{matrix} (0) & S_{α} = {i : (x x_{i} - μ μ)^{'} Σ^{- 1} (x x_{i} - μ μ) ⩽ q_{α}} \end{matrix}

$S_{\alpha}=\{i: (\pmb x_i-\pmb\mu)'\varSigma^{-1}(\pmb x_i-\pmb\mu)\leqslant q_{\alpha}\}\label{a}\tag{0}$

untuk dan $q_{\alpha}=\chi^2_{p}(\alpha),\;0<\alpha\leqslant 1$

\begin{matrix} (1) & C_{α} = {cov}_{i \in S_{α}} x x_{i} \end{matrix}

$C_{\alpha}=\mbox{cov}_{i\in S_{\alpha}}\pmb x_i\label{b}\tag{1}$

Kemudian, asimptotik, konvergen ke mana $C_{\alpha}$ $l_{\alpha}\varSigma$

\begin{matrix} (2) & l_{α} = \frac{F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})}}{α} \end{matrix}

$l_{\alpha}=\frac{ F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})} }{\alpha}\label{c}\tag{2}$

Perkiraan ini sangat bagus (di sini untuk alpha = 60/70):

library(MASS)
alpha<-60/70
p<-2
n<-1000000

radius<-sqrt(qchisq(alpha,df=p))
x0<-mvrnorm(n,rep(0,p),diag(p),empirical=TRUE)
Id<-which(rowSums(x0*x0)<=radius**2)
cov(x0[Id,])

qalpa<-qchisq(alpha,p)
diag(1/(alpha/(pchisq(qalpa,p+2))),p)

Jadi, akhirnya, untuk menjawab pertanyaan, penentu dari matriks kovarians dari pengamatan dengan norma Eucledian terkecil dengan asal (ini adalah kasus khusus di mana dan ) diberikan oleh: $\log$ $[\alpha n]$ $\varSigma=\pmb I_p$ $\pmb \mu=\pmb 0_p$

\begin{matrix} (3) & p \log F_{χ_{p + 2}^{2} (q_{α})} - p \log α \end{matrix}

$p\log F_{\chi^2_{p+2}(q_{\alpha})}-p\log\alpha\label{d}\tag{3}$

Croux C., Haesbroeck G. (1999). Pengaruh fungsi dan efisiensi estimator matriks penentu kovariansi penentu minimum. Jurnal Analisis Multivariat. 71. 161--190.

pengguna603
sumber