Mengapa variabel acak didefinisikan sebagai fungsi?

Saya mengalami masalah dalam memahami konsep variabel acak sebagai fungsi. Saya mengerti mekanika (saya pikir) tetapi saya tidak mengerti motivasi ...

Katakanlah adalah probabilitas tiga kali lipat, di mana , adalah aljabar Borel- sigma pada interval itu dan P adalah ukuran Lebesgue reguler. Misalkan X adalah variabel acak dari B ke \ {1,2,3,4,5,6 \} sedemikian sehingga X ([0,1 / 6)) = 1 , X ([1 / 6,2 / 6) ) = 2 , ..., X ([5 / 6,1]) = 6 , jadi X memiliki distribusi seragam diskrit pada nilai 1 hingga 6. Ω = [ 0 , 1 ] B σ P X B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , 1 / 6 ) ) = 1 X ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = 2 X ( $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$$X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

Itu semua baik, tapi saya tidak mengerti perlunya triple probabilitas asli ... kita bisa langsung membangun sesuatu yang setara dengan $(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$ mana $S$ adalah semua \ sigma -gebra$\sigma$ ruang yang sesuai, dan $P_x$ adalah ukuran yang memberikan setiap subset ukuran (# elemen) / 6. Juga, pilihan $\Omega=[0,1]$ adalah arbitrary - bisa saja $[0,2]$ , atau set lainnya.

Jadi pertanyaan saya adalah, mengapa repot membangun \ Omega sewenang-wenang $\Omega$dengan $\sigma$ aljabar dan ukuran, dan mendefinisikan variabel acak sebagai peta dari aljabar $\sigma$ ke garis nyata?

Jika Anda bertanya-tanya mengapa semua mesin ini digunakan ketika sesuatu yang lebih sederhana sudah cukup - Anda benar, untuk situasi yang paling umum. Namun, versi ukuran-teoretis dari probabilitas dikembangkan oleh Kolmogorov untuk tujuan membangun teori generalisasi sedemikian rupa sehingga dapat menangani, dalam beberapa kasus, ruang probabilitas yang sangat abstrak dan rumit. Faktanya, ukuran fondasi teoritik Kolmogorov untuk probabilitas pada akhirnya memungkinkan alat probabilistik untuk diterapkan jauh di luar domain aplikasi awal yang dimaksudkan ke dalam bidang-bidang seperti analisis harmonik.

Pada awalnya tampaknya lebih mudah untuk melewatkan "dasar" aljabar , dan untuk secara sederhana menetapkan massa probabilitas untuk peristiwa yang terdiri dari ruang sampel secara langsung, seperti yang telah Anda usulkan. Memang, probabilis secara efektif melakukan hal yang sama setiap kali mereka memilih untuk bekerja dengan "ukuran yang diinduksi" pada ruang sampel yang ditentukan oleh . Namun, hal-hal mulai menjadi rumit ketika Anda mulai memasuki ruang dimensi yang tak terbatas. Misalkan Anda ingin membuktikan Hukum yang Kuat dari Angka Besar untuk kasus spesifik membalik koin yang adil (yaitu, proporsi kepala cenderung sewenang-wenang mendekati 1/2 ketika jumlah koin terbalik menjadi tak terhingga). Anda dapat mencoba membuat aΩ P ∘ X - 1 σ ( H , T , H , . . . ) Ω = [ 0 , 1 ) $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$-Aljabar pada himpunan urutan bentuk yang tak terbatas . Tetapi di sini dapat ditemukan bahwa lebih nyaman untuk mengambil ruang yang mendasari menjadi ; dan kemudian menggunakan representasi biner dari bilangan real (mis. ) untuk mewakili urutan flips koin (1 menjadi kepala, 0 menjadi ekor.) Ilustrasi dari contoh ini dapat ditemukan dalam beberapa bab pertama dari Peluang Billingsley dan Mengukur .$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

Isu-isu tentang aljabar adalah seluk-beluk matematika, yang tidak benar-benar menjelaskan mengapa atau jika kita membutuhkan ruang latar belakang . Memang, saya akan mengatakan bahwa tidak ada bukti kuat bahwa ruang latar belakang adalah suatu keharusan. Untuk setup probabilistik ( E , E , μ ) di mana E adalah ruang sampel, E yang σ -algebra dan μ ukuran probabilitas, bunga dalam μ , dan tidak ada alasan abstrak yang kita inginkan μ menjadi ukuran gambar peta terukur X : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ .$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Namun, penggunaan ruang latar belakang abstrak memberikan kenyamanan matematis yang membuat banyak hasil tampak lebih alami dan intuitif. Tujuan selalu mengatakan sesuatu tentang , yang distribusi dari X , tetapi mungkin lebih mudah dan lebih jelas dinyatakan dalam X .$\mu$$X$$X$

Contoh diberikan oleh teorema limit pusat. Jika adalah nilai nyata nyata dengan mean μ dan varian σ 2 CLT mengatakan bahwa P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ di manaΦadalah fungsi distribusi untuk distribusi normal standar. Jika distribusiXiadalahμhasil yang sesuai dalam hal ukuran berbunyi ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ Beberapa penjelasan terminologi yang dibutuhkan By.μ*nkita berartinkonvolusi -times dariμ(distribusi jumlah). Fungsiρcadalah fungsi linierρc(x)=cxdan $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ adalah terjemahan τ ξ ( x ) = x - ξ . Seseorang mungkin bisa terbiasa dengan formulasi kedua, tetapi ia melakukan pekerjaan yang baik untuk menyembunyikan apa yang sebenarnya terjadi.$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Apa yang tampaknya menjadi masalah adalah bahwa transformasi aritmatika yang terlibat dalam CLT cukup jelas dinyatakan dalam variabel acak tetapi mereka tidak menerjemahkan dengan baik dalam hal ukuran.

Saya baru-baru ini menemukan cara baru ini untuk berpikir tentang Random Variable serta tentang ruang latar belakang Ω . Saya tidak yakin apakah ini pertanyaan yang Anda cari, karena itu bukan alasan matematika, tapi saya pikir ini memberikan cara yang sangat rapi untuk memikirkan RV.$X$$\Omega$

Bayangkan sebuah situasi di mana kita melempar koin. Pengaturan eksperimental ini terdiri dari Set kondisi awal yang mungkin yang mencakup deskripsi fisik tentang bagaimana koin dilemparkan. Ruang latar belakang terdiri dari semua kondisi awal yang mungkin. Demi kesederhanaan kita dapat mengasumsikan bahwa lemparan koin hanya bervariasi dalam kecepatan, maka kita akan menetapkan $\Omega = [0,v_{max}]$

Variabel acak kemudian dapat dianggap sebagai fungsi yang memetakan setiap keadaan awal ω ∈ Ω dengan hasil yang sesuai dari percobaan, yaitu apakah itu ekor atau kepala.$X$$\omega \in \Omega$

Untuk RV: ukuran Q kemudian akan sesuai untuk mengukur probabilitas atas kondisi awal, yang bersama-sama dengan dinamika percobaan diwakili oleh $X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ menentukan distribusi probabilitas atas hasil.

Untuk referensi ide ini, Anda dapat melihat bab Tim Maudlin atau Micheal Strevens di "Probabilties in Physics" (2011)