Transformasi Anscombe dan perkiraan normal

The Anscombe transformasi adalah .$a(x) = 2\sqrt{x+3/8}$

Adakah yang bisa menunjukkan kepada saya bagaimana membuktikan bahwa versi Anscombe-transformed dari variabel acak terdistribusi Poisson kira-kira terdistribusi normal (ketika )?$Y = a(X)$$X$$\lambda>4$

Berikut ini adalah sketsa bukti yang menggabungkan tiga gagasan: (a) metode delta, (b) transformasi varians-stabilisasi dan (c) penutupan distribusi Poisson di bawah jumlah independen.

Pertama, mari kita pertimbangkan urutan variabel acak Poisson iid dengan mean . Kemudian, Teorema Limit Pusat menyatakan bahwa $X_1, X_2, \ldots$$\lambda > 0$

$$\newcommand{\barX}{\bar{X}_n}\newcommand{\convd}{\,\xrightarrow{\,d\,}\,}\newcommand{\Nml}{\mathcal{N}} \sqrt{n} (\barX - \lambda) \convd \Nml(0,\lambda) \> .$$

Perhatikan bahwa varians asimptotik tergantung pada parameter (mungkin tidak diketahui) . Alangkah baiknya jika kita dapat menemukan beberapa fungsi data selain sedemikian rupa sehingga, setelah memusatkan dan menskalakan kembali, ia memiliki varian asimtotik yang sama tidak peduli apa pun parameter .$\lambda$$\bar{X}_n$$\lambda$

The Metode delta menyediakan cara berguna untuk menentukan distribusi fungsi kelancaran beberapa statistik yang membatasi distribusi sudah dikenal. Biarkan menjadi fungsi dengan turunan pertama kontinu sehingga . Kemudian, dengan metode delta (khusus untuk kasus minat khusus kami), $g$$g'(\lambda) \neq 0$

$$\sqrt{n}\big(g(\barX) - g(\lambda)\big) \convd \Nml(0, \lambda g'(\lambda)^2) \>.$$

Jadi, bagaimana kita dapat membuat varians asimptotik konstan (katakanlah, nilai ) untuk semua kemungkinan ? Dari ungkapan di atas, kita tahu kita harus menyelesaikannya$1$$\lambda$

$$g'(\lambda) = \lambda^{-1/2} \>.$$

Tidak sulit untuk melihat bahwa antiderivatif umum adalah untuk sembarang , dan distribusi pembatasnya tidak sama dengan pilihan (dengan pengurangan), sehingga kita dapat mengatur tanpa kehilangan keumuman. Fungsi itu disebut transformasi penstabilan varian .$g(\lambda) = 2 \sqrt{\lambda} + c$$c$$c$$c = 0$$g$

Oleh karena itu, dengan metode delta dan pilihan kami , kami menyimpulkan bahwa $g$

$$\sqrt{n}\Big(2\sqrt{\barX} - 2\sqrt{\lambda}\Big) \convd \Nml(0, 1) \>.$$

Sekarang, distribusi Poisson ditutup dengan jumlah independen. Jadi, jika adalah Poisson dengan mean , maka ada variabel acak yang iid Poisson dengan mean sehingga memiliki distribusi yang sama dengan . Ini memotivasi perkiraan dalam kasus variabel acak Poisson tunggal.$X$$\lambda$$Z_1, \ldots, Z_n$$\lambda/n$$\sum_{i=1}^n Z_i$$X$

Apa yang ditemukan Anscombe (1948) adalah bahwa memodifikasi transformasi (sedikit) menjadi untuk beberapa konstanta sebenarnya bekerja lebih baik untuk lebih kecil . Dalam hal ini, adalah tentang optimal.$g$$\tilde{g}(\lambda) = 2\sqrt{\lambda + b}$$b$$\lambda$$b = 3/8$

Perhatikan bahwa modifikasi ini "Menghancurkan" properti varians-menstabilkan benar , yaitu, adalah tidak varians-menstabilkan dalam arti sempit. Tapi, itu dekat dan memberikan hasil yang lebih baik untuk lebih kecil .$g$$\tilde{g}$$\lambda$