Interval kepercayaan untuk perbedaan rata-rata dalam regresi

Misalkan saya memiliki model regresi kuadrat

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \beta_2 X^2 + \epsilon$$ dengan kesalahan $\epsilon$ memenuhi asumsi biasa (independen, normal, independen dari nilai-nilai $X$ ). Biarkan $b_0, b_1, b_2$ menjadi estimasi kuadrat terkecil.

Saya memiliki dua nilai $X$ baru $x_1$ dan $x_2$ , dan saya tertarik untuk mendapatkan interval kepercayaan untuk $v = E(Y|X = x_2) - E(Y|X=x_1) = \beta_1 (x_2 - x_1) + \beta_2 (x_2^2 - x_1^2)$ .

Estimasi titik v = b 1 ( x 2 - x 1 ) + b 2 ( x 2 2 - x 2 1 ) , dan (saya benar jika saya salah) saya bisa memperkirakan varians oleh s 2 = ( x 2 - x 1 ) 2 Var ( b 1 ) + ( x 2 2 - x 2 1 ) 2 Var$\hat{v} = b_1 (x_2 - x_1) + b_2 (x_2^2 - x_1^2)$

$$\hat{s}^2 = (x_2 - x_1)^2 \text{Var}(b_1) + (x_2^2 - x_1^2)^2 \text{Var}(b_2) + 2 (x_2 - x_1)(x^2 - x_1^2)\text{Cov}(b_1, b_2)$$ menggunakan estimasi varian dan kovarians dari koefisien yang disediakan oleh perangkat lunak.

Aku bisa menggunakan pendekatan normal dan mengambil v ± 1,96 s sebagai interval kepercayaan 95% untuk v , atau saya bisa menggunakan interval kepercayaan bootstrap, tetapi ada cara untuk bekerja di luar distribusi yang tepat dan penggunaan itu?$\hat{v} \pm 1.96 \hat{s}$$v$

$p$$X$$X^2$$n$$\mathbf{X}$$n \times (p+1)$$\hat{\beta}$$p+1$$a \in \mathbb{R}^{p+1}$

$$\frac{a^T\hat{\beta} - a^T \beta}{\hat{\sigma} \sqrt{a^T(\mathbf{X}^T\mathbf{X})^{-1}a}} \sim t_{n-p-1}.$$

$\beta$$t$

$p = 2$$a^T = (0, x_2 - x_1, x_2^2 - x_1^2)$$\hat{\sigma}^2$$n-p-1$$n$