Berapa banyak stiker yang saya perlukan untuk melengkapi album FIFA Panini saya?

Saya memainkan Album Stiker FIFA Panini Online , yang merupakan adaptasi Internet dari album Panini klasik yang biasanya diterbitkan untuk piala dunia sepakbola, kejuaraan Eropa, dan mungkin turnamen lainnya.

Album ini memiliki penampung untuk 424 stiker berbeda. Tujuan dari permainan ini adalah untuk mengumpulkan semua 424. Stiker datang dalam paket 5, yang dapat diperoleh melalui kode yang ditemukan online (atau, dalam kasus album cetak klasik, dibeli di kios lokal Anda).

Saya membuat asumsi berikut:

• Semua stiker diterbitkan dalam jumlah yang sama.
• Satu bungkus stiker tidak mengandung duplikat.

Bagaimana saya bisa mengetahui berapa banyak paket stiker yang perlu saya peroleh agar cukup yakin (misalkan 90%) bahwa saya memiliki semua 424 stiker unik?

Itu adalah Masalah Kolektor Kupon yang indah, dengan sedikit twist yang diperkenalkan oleh kenyataan bahwa stiker datang dalam kemasan 5 buah.

Jika stiker dibeli secara individual hasilnya diketahui, seperti yang Anda lihat di sini .

Semua perkiraan untuk batas atas 90% untuk stiker yang dibeli secara perorangan juga batas atas untuk masalah dengan paket 5, tetapi batas atas kurang dekat.

Saya berpikir bahwa mendapatkan batas atas 90% -kemungkinan yang lebih baik, menggunakan paket 5 ketergantungan, akan menjadi jauh lebih sulit dan tidak akan memberi Anda hasil yang jauh lebih baik.

Jadi, dengan menggunakan estimasi ekor dengan n = 424 dan n - β + 1 = 0,1 , Anda akan mendapatkan jawaban yang baik.$P[T>\beta n \log n] \leq n^{-\beta+1}$$n=424$$n^{-\beta+1} = 0.1$

EDIT :

Artikel "Masalah kolektor dengan gambar kelompok" (Wolfgang Stadje), referensi artikel yang dibawa oleh Assuranceturix, menyajikan solusi analitik yang tepat untuk Masalah Kolektor Kupon dengan "paket stiker".

$S$$s = |S|$$A \subset S$$A = S$$l = |A|$$k$$m$$X_{k}(A)$$A$

Teorema mengatakan bahwa:

$l=s=n=424$$m=5$$k$

Jadi itu tidak begitu jauh dari batas atas :)

Suatu hari saya menemukan sebuah makalah yang membahas pertanyaan terkait erat:

http://www.unige.ch/math/folks/velenik/Vulg/Paninimania.pdf

Jika saya telah memahaminya dengan benar, jumlah paket yang diharapkan yang perlu Anda beli adalah:

$\binom{424}{5}\sum_{j=1}^{424}\left(-1\right)^{j+1}\frac{\binom{424}{j}}{\binom{424}{5}-\binom{424-j}{5}}$

Namun, seperti yang ditunjukkan eqperes dalam komentar, pertanyaan spesifik yang ditanyakan OP sebenarnya dibahas secara terperinci dalam makalah lain yang tidak dapat diakses.

Kesimpulan akhir mereka menyarankan strategi berikut (untuk album 660 stiker):

• Beli sekotak 100 bungkus 5 stiker (500 stiker, dijamin semuanya berbeda)
• Beli 40 paket lebih dari 5 stiker dan tukarkan duplikat hingga Anda memiliki paling banyak 50 stiker yang hilang.
• Beli stiker yang tersisa langsung dari Panini (biayanya sekitar 1,5 kali lipat).

Ini adalah total 140 paket + hingga 15 paket tambahan senilai stiker (berdasarkan biaya) yang dibeli dengan cara yang ditargetkan, setara dengan paling banyak 155 paket .