Bentuk ekspresi tertutup untuk distribusi kurtosis sampel distribusi Gaussian

Apakah ada ekspresi bentuk tertutup untuk distribusi Sampel Kurtosis data sampel dari distribusi Gaussian? yaitu,

$P(\hat{K}<a)$ mana adalah kurtosis sampel.$\hat{K}$

Distribusi sampel yang tepat sulit untuk diturunkan; ada beberapa momen pertama (dating kembali ke 1929), berbagai perkiraan (dating kembali ke awal 1960-an), dan tabel, sering didasarkan pada simulasi (dating kembali ke 1960-an).

Untuk lebih spesifik:

Fisher (1929) memberikan momen-momen distribusi sampling dari skewness dan kurtosis dalam sampel normal, dan Pearson (1930) (juga) memberikan empat momen pertama dari distribusi sampling skewness dan kurtosis serta mengusulkan tes berdasarkan pada mereka.

Jadi misalnya :$^*$

$E(b_2)=\frac{3(n-1)}{n+1}$

$\text{Var}(b_2)=\frac{24n(n-2)(n-3)}{(n+1)^2(n+3)(n+5)}$

Kecondongan dari adalah$b_2$$\frac{216}{n}(1-\frac{29}{n}+\frac{519}{n^2}-\frac{7637}{n^3}+\ldots)$

Kelebihan kurtosis adalah .$b_2$$\frac{540}{n}-\frac{20196}{n^2}+\frac{470412}{n^3}+\ldots$

* Hati-hati - nilai untuk saat ini dan seterusnya tergantung pada definisi yang tepat dari kurtosis sampel yang digunakan. Jika Anda melihat formula berbeda untuk atau , misalnya, umumnya akan karena definisi kurtosis sampel yang sedikit berbeda.$E(b_2)$$\text{Var}(b_2)$

Dalam hal ini, rumus di atas harus berlaku untuk .$b_2=n\frac{\sum_i (X_i-\bar X)^4}{(\sum_i (X_i-\bar X)^2)^2}$

Pearson (1963) membahas perkiraan distribusi sampel kurtosis dalam sampel normal oleh Pearson tipe IV atau distribusi Johnson (tidak diragukan alasan mengapa empat momen pertama diberikan tiga dekade sebelumnya sebagian besar untuk memanfaatkan keluarga Pearson mungkin) .$S_U$

Pearson (1965) memberikan tabel untuk persentil kurtosis untuk beberapa nilai .$n$

D'Agostino dan Tietjen (1971) memberikan tabel persentil yang lebih luas untuk kurtosis.

D'Agostino dan Pearson (1973) memberikan grafik poin persentase kurtosis yang mencakup berbagai kasus yang lebih luas lagi.

Fisher, RA (1929),
"Momen dan Momen Produk dari Distribusi Sampel,"
Prosiding London Mathematical Society , Seri 2, 30: 199-238.

Pearson, ES, (1930)
"Perkembangan lebih lanjut dari uji normalitas,"
Biometrika , 22 (1-2), 239-249.

Pearson, ES (1963)
"Beberapa masalah muncul dalam mendekati distribusi probabilitas, menggunakan momen,"
Biometrika , 50 , 95-112

Pearson, ES (1965)
"Tabel poin persentase dari dan dalam sampel normal: Pembulatan," Biometrika , 52 , 282-285$\sqrt{b_1}$$b_2$

D'Agostino, RB dan Tietjen, GL (1971),
"Poin probabilitas simulasi untuk sampel kecil," Biometrika , 58 , 669-672.$b_2$

D'Agostino, RB, dan Pearson, ES (1973),
"Tes untuk keberangkatan dari normalitas. Hasil empiris untuk distribusi dan ," Biometrika , 60 , 613-622.$b_2$$\sqrt{b_1}$

Sampel Kurtosis dari sampel normal, kira-kira didistribusikan sebagai normal rata-rata nol dengan varians , di mana adalah ukuran sampel (secara alami, semakin besar semakin baik aproksimasi. Ekspresi yang lebih rumit untuk varians dapat menjadi ditemukan di halaman wikipedia ). Untuk sampel Gaussian ukuran kecil (<40), persentil telah diturunkan dalam makalah ini: Lacher, DA (1989). Distribusi sampel skewness dan kurtosis. Kimia klinis, 35 (2), 330-331.$\approx 24/n$$n$$n$