Distribusi marginal dari diagonal dari matriks terdistribusi Wishart terbalik

Misalkan . Saya tertarik pada distribusi marjinal elemen diagonal . Ada beberapa hasil sederhana pada distribusi submatrices (setidaknya beberapa terdaftar di Wikipedia). Dari sini saya dapat membayangkan bahwa distribusi marginal dari setiap elemen tunggal pada diagonal adalah Gamma terbalik. Tetapi saya tidak dapat menyimpulkan distribusi bersama. $X\sim \operatorname{InvWishart}(\nu, \Sigma_0)$ $\operatorname{diag}(X) = (x_{11}, \dots, x_{pp})$ $X$

Saya pikir mungkin itu dapat diturunkan dengan komposisi, seperti:

hal (x_{11} | x_{saya saya}, saya > 1) hal (x_{22} | x_{saya saya}, saya > 2) ... hal (x_{(hal - 1) (hal - 1)} | x_{hal hal}) hal (x_{hal hal}),

$p(x_{11} | x_{ii}, i\gt 1)p(x_{22}|x_{ii}, i>2)\dots p(x_{(p-1)(p-1)}|x_{pp})p(x_{pp}),$

tetapi saya tidak pernah berhasil dan curiga bahwa saya kehilangan sesuatu yang sederhana; sepertinya ini "harus" diketahui tetapi saya belum dapat menemukan / menunjukkannya.

distributions probability pdf JMS
sumber

Proposisi 7,9 dari Bilodeau dan Brenner (pdf tersedia secara gratis di web) memberikan hasil yang menjanjikan untuk Wishart (mungkin itu berlaku untuk Wishart terbalik). Jika Anda mempartisi

dalam blok sebagai

, lalu

adalah Wishart, seperti

, dan keduanya independen.

X

$X$

X_{11}, X_{12}; X_{21}, X_{22}

$X_{11},X_{12};X_{21},X_{22}$

X_{22}

$X_{22}$

X_{11} - X_{12} X_{22}^{- 1} X_{21}

$X_{11} - X_{12}X_{22}^{-1}X_{21}$

shabbychef

Proposisi itu hanya berlaku jika Anda tahu seluruh matriks: jika Anda hanya punya diagonal, maka Anda tidak tahu misalnya

, sehingga Anda tidak dapat melakukan transformasi.

X_{12}

$X_{12}$

petrelharp

Jawaban:

Σ = diag (Σ) Q diag (Σ)^{⊤} = D Q D^{⊤}

$\Sigma = \text{diag}(\Sigma) \ Q \ \text{diag}(\Sigma)^\top = D\ Q \ D^\top$

Q

$Q$

q_{i i} = 1

$q_{ii} = 1$

Σ

$\Sigma$

D = [D]_{i i} = [Σ]_{i i}

$D = [D]_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

d_{i j} = 0, i \neq j

$d_{ij} = 0, \ i \ne j$

$d$ $\Sigma$

Σ \sim saya W (ν + d - 1, 2 ν Λ), ν > d - 1

$\Sigma \sim \mathcal{IW}(\nu +d -1, 2\nu \Lambda), \quad \nu > d-1$

$\sigma_{ii} = [\Sigma]_{ii}$

σ_{saya saya} \sim inv- χ^{2} (ν + d - 1, \frac{λ_{saya saya}}{ν - d + 1})

$\sigma_{ii} \sim \text{inv-$\chi^2$}\left(\nu+d-1,\frac{\lambda_{ii}}{\nu -d + 1}\right)$

Referensi yang bagus dengan berbagai prior untuk matriks kovarians yang terurai menjadi distribusi varians-korelasi yang berbeda diberikan di sini

pengguna3303
sumber