Kondisi untuk matriks pendahuluan untuk mempertahankan simetri konjugat kompleks pada vektor DFT

Misalkan ada vektor DFT dengan panjang N, yang menyajikan simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengahnya, yaitu X ( 1 ) = X ( N - 1 ) ∗ , X ( 2 ) = X ( N - 2 ) ∗ dan seterusnya sebagainya X ( 0 ) dan X ( N / 2 ) masing-masing adalah frekuensi DC dan Nyquist, oleh karena itu adalah bilangan real. Elemen yang tersisa rumit.$\mathbf{X}$$X(1) = X(N-1)^*$$X(2) = X(N - 2)^*$$X(0)$$X(N/2)$

Sekarang, misalkan ada matriks , dengan ukuran N × N , yang mengalikan vektor X.$\mathbf{T}$$N \times N$

$$\begin{align} \mathbf{Y} = \mathbf{T}\mathbf{X} \end{align}$$

Pertanyaannya adalah:

Dalam kondisi apa, untuk matriks , simetri konjugat kompleks di sekitar titik tengah vektor Y yang dihasilkan dipertahankan?$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

Motivasi untuk pertanyaan ini adalah mencoba untuk menghasilkan matriks prekoder yang menghasilkan simbol Y pra-disamakan (pra-disamakan) yang IFFT-nya nyata.$\mathbf{T}$$\mathbf{Y}$

EDIT:

Terima kasih @MattL. dan @niaren. Kesulitan tentang pertanyaan ini adalah menemukan kondisi yang diperlukan. Jawaban Matt memang cukup. Ini juga cukup untuk membuat modifikasi berikut:

Baris pertama dan kolom pertama tidak harus nol. Alih-alih, mereka bisa saja bukan nol, selama nilainya menghadirkan simetri konjugasi kompleks di sekitar titik tengah, nilai pertamanya adalah nyata dan nilai -nya nyata, persis seperti simbol. Hal yang sama dapat dinyatakan untuk kolom ( N / 2 + 1 ) -th, baris ( N / 2 + 1 ) -th, dan diagonal utama.$(N/2+1)$$(N/2+1)$$(N/2+1)$

Kedua, korespondensi yang sama antara matriks di sudut kiri atas dan sudut kanan bawah dapat dibuat antara sudut kanan atas dan sudut kiri bawah, yaitu, memilih matriks mulai dari t 2 , N / 2 + 2 hingga t N / 2 , N , flip dari kiri ke kanan, flip terbalik dan ambil konjugat, lalu letakkan di sudut kiri bawah. Pada MATLAB, itu akan menjadi:$(N/2 -1)\times(N/2-1)$$t_{2,N/2 + 2}$$t_{N/2,N}$

T(N/2+2:N,2:N/2) = conj(fliplr(flipud(Tisi(2:(N/2),N/2+2:N))))

Struktur ini mirip dengan struktur matriks DFT. Apakah itu syarat yang perlu?

EDIT (2):

Kode berikut mengimplementasikan operator yang valid untuk setiap matriks A bernilai riil :$N \times N$$\mathbf{A}$

N = 8;  
A = rand(N,N); %must be real-valued  
w = exp(-1j*2*pi/N); % twiddle factor  
W = w.^(repmat(0:N-1,N,1).*repmat(0:N-1,N,1).'); % DFT matrix  
T = W*A*W'

EDIT (3):

Menarik juga untuk dicatat bahwa menyajikan kondisi yang cukup juga. Ini berasal dari fakta bahwa:$\mathbf{T}^{-1}$

manaWadalah matriks DFT.

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \mathbf{\left(W A W^{H}\right)}^{-1}\\ &= \mathbf{\left(W^{H}\right)}^{-1} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W}^{-1} \end{align}$$ $\mathbf{W}$

Karena . Persamaan ini menjadi:$\mathbf{W^{H}} = N\mathbf{W}^{-1}$

$$\begin{align} \mathbf{T}^{-1} &= \left(N\mathbf{W}^{-1}\right)^{-1} \mathbf{A}^{-1} \frac{1}{N}\mathbf{W^{H}}\\ &= \mathbf{W} \mathbf{A}^{-1} \mathbf{W^{H}} \end{align}$$

$\mathbf{A}^{-1}$$\mathbf{A}$$\mathbf{T}^{-1}$

$\bf{T}$$a_{N-n+1,N-m+1} = a^*_{n,m}$$N-n+1$$\bf{T}$$N=4$

$T_4 = \left[ \begin{smallmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a^*_{24}&a^*_{23}&a^*_{22}&a^*_{21} \\ a^*_{14}&a^*_{13}&a^*_{12}&a^*_{11}\end{smallmatrix} \right]$

Saya yakin seseorang akan datang dengan jawaban yang lebih baik dan lebih tepat.

$\mathbf{T}$$\mathbf{X}$

$\mathbf{T}$$t_{11}$$t_{N/2+1,N/2+1}$$t_{11}$$t_{22}$$t_{N/2,N/2}$$(N/2-1)\times (N/2-1)$$\mathbf{T}$$\mathbf{T}$