Varian Kebisingan Gauss Putih

Ini bisa menjadi pertanyaan yang mudah dan tanpa keraguan, tetapi saya mencoba untuk menghitung varians dari white Gaussian white tanpa hasil apa pun.

Kerapatan spektral daya (PSD) aditif white Gaussian noise (AWGN) adalah sedangkan autokorelasi adalah , jadi variansnya tidak terbatas? $\frac{N_0}{2}$ $\frac{N_0}{2}\delta(\tau)$

noise power-spectral-density random-process Mazzy
sumber

Bukankah kekuatan kebisingan varian dari tegangan kebisingan? Orang juga bisa bertanya tentang varians (atau standar deviasi) dari daya yang diukur pada interval waktu tertentu. Saya pikir teorema limit pusat akan menggambarkan hubungan antara durasi waktu pengukuran dan varians dari hasil.

Jawaban:

White Gaussian noise dalam kasus waktu kontinu bukan apa yang disebut proses urutan kedua (artinya terbatas) dan, ya, variansnya tidak terbatas. Untungnya, kita tidak pernah dapat mengamati proses white noise (apakah Gaussian atau tidak); itu hanya dapat diamati melalui beberapa jenis perangkat, misalnya filter linear (BIBO-stable) dengan fungsi transfer dalam hal apa yang Anda dapatkan adalah proses Gaussian stasioner dengan kepadatan spektral daya $E[X^2(t)]$ $H(f)$ dan varian terbatas $\frac{N_0}{2}|H(f)|^2$

σ^{2} = \int_{- \infty}^{\infty} \frac{N_{0}}{2} | H (f) |^{2} d f .

$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty \frac{N_0}{2}|H(f)|^2\,\mathrm df.$

Lebih dari apa yang Anda mungkin ingin tahu tentang white Gaussian white dapat ditemukan di Lampiran catatan kuliah saya ini.

Dilip Sarwate
sumber

σ^{2}

$\sigma^2$

x (t)

$x(t)$

E [x^{2} (t)]

$E[x^2(t)]$

σ^{2}

$\sigma^2$

Y [n]

$Y[n]$

Y [n] = \int_{(n - 1) T}^{n T} X (t) d t

$Y[n]=\int_{(n-1)T}^{nT}X(t)\,\mathrm dt$

X (t)

$X(t)$

σ_{Y [n]}^{2} = \frac{N_{0}}{2} T

$\sigma_{Y[n]}^2=\frac{N_0}{2}T$

\frac{N_{0}}{2}

$\frac{N_0}{2}$

T = 1

$T=1$

@DilipSarwate Saya membaca lampiran menarik Anda. Tetapi Anda mengatakan, "Seseorang seharusnya tidak menyimpulkan bahwa variabel acak dalam proses WGN itu sendiri adalah variabel acak Gaussian". Saya tidak sepenuhnya memahami hal ini. Jika variabel acak bukan Gaussian (dan ini tampaknya masuk akal bagi saya karena mereka memiliki varian tak terbatas), mengapa prosesnya bernama Gaussian?

Surfer pada musim gugur

f_{X (t)} (x)

$f_{X(t)}(x)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

0

$0$

x

$x$

X (t)

$X(t)$

{X (t) : - \infty < t < \infty}

$\{X(t)\colon -\infty < t < \infty\}$

σ \to \infty

$\sigma \to \infty$

σ \to 0

$\sigma \to 0$

$x[t]$ $\sigma^2$ $x$

\begin{matrix} R_{x x} [τ] & = & E [x [t] x [t + τ]] \\ = & {\begin{matrix} E [x [t]^{2}], i f τ = 0 \\ 0, o t h e r w i s e \end{matrix} \\ = & σ^{2} δ [τ] \end{matrix}

$\begin{array} RR_{xx}[\tau] &=& E\left[ x[t] x[t+\tau] \right]\\ &=& \left \{ \begin{array} EE \left[ x[t]^2 \right], {\rm if\ }\tau=0 \\ 0, {\rm otherwise} \end{array} \right. \\ &=& \sigma^2 \delta[\tau] \end{array}$

δ [τ]

$\delta[\tau]$

$\sigma^2 = \frac{N_0}{2}$

Peter K.
sumber

Ya itu: kecuali Anda memperhitungkan bahwa kekuatan tak terbatas sulit didapat pada masa-masa penting ini. Sebenarnya semua proses white noise berakhir dalam implementasi fisik yang memiliki kapasitansi dan dengan demikian membatasi bandwidth yang efektif. Pertimbangkan argumen (masuk akal) yang mengarah ke derau Johnson R: mereka akan menghasilkan energi tak terbatas; kecuali selalu ada batas bandwidth dalam implementasi. Situasi serupa berlaku di ujung yang berlawanan: kebisingan 1 / F. Ya beberapa proses cocok dengan noise 1 / f dengan sangat baik dalam waktu yang lama; Saya sudah mengukurnya. Tetapi pada akhirnya Anda dibatasi oleh hukum fisik.

pembalap
sumber