Kapan interpolasi spline kubik lebih baik daripada polinomial interpolasi?

9

Plot berikut adalah sedikit variasi contoh dalam buku teks. Penulis menggunakan contoh ini untuk mengilustrasikan bahwa polinomial interpolasi pada sampel dengan jarak yang sama memiliki osilasi besar di dekat ujung interval interpolasi. Tentu saja interpolasi spline kubik memberikan perkiraan yang baik selama seluruh interval. Selama bertahun-tahun, saya pikir interpolasi polinomial tingkat tinggi atas sampel dengan spasi yang sama harus dihindari karena alasan yang diilustrasikan di sini.

masukkan deskripsi gambar di sini

Namun, saya baru-baru ini menemukan banyak contoh sinyal bandlimited di mana polinomial interpolasi orde tinggi memberikan kesalahan aproksimasi kurang dari interpolasi cubic-spline. Biasanya polinomial Interpolasi lebih akurat selama seluruh interval interpolasi ketika laju sampel cukup tinggi. Ini tampaknya berlaku ketika sampel sama-sama diberi jarak dengan laju sampel setidaknya 3 kali lebih besar dari frekuensi Nyquist sinyal. Selain itu, keuntungan lebih dari interpolasi spline kubik meningkat ketika (tingkat sampel) / (frekuensi Nyquist) meningkat.

Sebagai contoh, saya membandingkan interpolasi kubik-spline dengan polinomial interpolasi untuk gelombang sinus dengan frekuensi Nyquist 2 Hz, dan laju sampel 6,5 Hz. Di antara titik-titik sampel, polinom interpolasi terlihat persis sama dengan sinyal aktual. masukkan deskripsi gambar di sini


Di bawah ini saya membandingkan kesalahan dalam dua perkiraan. Seperti contoh pertama, interpolasi polinomial paling buruk di awal dan akhir interval sampel. Namun, polinomial interpolasi memiliki kesalahan kurang dari spline kubik selama seluruh interval sampel. Polinomial interpolasi juga memiliki lebih sedikit kesalahan ketika melakukan ekstrapolasi dalam interval kecil. Apakah saya menemukan fakta yang terkenal? Jika demikian, di mana saya bisa membacanya?

masukkan deskripsi gambar di sini

Ted Ersek
sumber
Apakah Anda mendekati rumus atau data? Diberikan rumus, seperti yang Anda miliki, Anda selalu dapat menggunakan splines yang lebih maju di mana turunan orde tinggi juga diperhitungkan. Anda juga harus memeriksa fakta bahwa spline kubik meminimalkan fungsi "energi" tertentu. Lihatlah wikipedia en.wikipedia.org/wiki/Spline_interpolation . Jadi dalam arti tertentu, minimisasi kelengkungan, Anda tidak bisa berbuat lebih baik. Interpretasi alternatif adalah bahwa splines kubik telah / digunakan untuk pemasangan; tidak mendekati. "Fitting" menyiratkan metrik tertentu untuk dioptimalkan.
rrogers
@rrogers, saya berpikir polinomial interpolasi akan menjadi pendekatan yang lebih baik ketika seseorang ingin memperkirakan fungsi dari sampel yang diukur dan bandwidth dari sinyal diketahui kurang dari 1/6 dari laju sampel. Itu
Ted Ersek
±
@TedErsek Sebagai cara praktis menyapa komentar Ted Ersek; Anda sudah mencoba pendekatan polinomial rasional. BTW: Saya punya salinan gratis program estimasi kurva formula dari tahun lalu yang benar-benar bagus. Program beralih dari beta ke pembayaran jadi saya tidak memiliki versi saat ini.
rogers
@JasonR Saya bermaksud menyampaikan komentar terakhir saya kepada Anda. Kembali ke topik, Bagaimanapun, ada en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials yang menyediakan aproksimasi kesalahan seragam (minimum) dalam polinomial jika Anda tahu fungsinya. Tetapi jika Anda tahu fungsinya, Anda selalu dapat mensintesis "filter yang cocok".
rogers

Jawaban:

4

Fenomena yang sedang dibahas adalah fenomena Runge .

ndosa(ωt)ωn 125t2+1n5nn!,n!nn

Jika suatu fungsi hanya memiliki turunan kontinu, maka pendekatan yang bersaing, interpolasi spline polinomial sepotong-bijaksana selalu menyatu jika sejumlah kecil turunan awal terikat pada interval bunga, lihat artikel Wikipedia tentang interpolasi linier sebagai contoh.

Jika kedua metode bertemu, maka interpolasi polinomial (tidak terpisah) memiliki keuntungan dari tingkat polinomial yang lebih tinggi jika banyak sampel digunakan, dan dapat memberikan perkiraan yang lebih baik, seperti yang Anda lihat dalam contoh sinus Anda. Anda juga mungkin tertarik dengan LN Trefethen, Dua hasil interpolasi polinomial dalam titik-titik yang berjarak sama , Journal of Approximation Theory Volume 65, Edisi 3, Juni 1991, Halaman 247-260. Mengutip:

esayaαx(αR),0nα

Anda memiliki 6,5 sampel per panjang gelombang.

Olli Niemitalo
sumber