Saya memahami Transformasi Fourier yang merupakan operasi matematika yang memungkinkan Anda melihat konten frekuensi dari sinyal yang diberikan. Tapi sekarang, di comm saya. Tentu saja, profesor memperkenalkan Hilbert Transform.

Saya mengerti bahwa ini agak terkait dengan konten frekuensi mengingat fakta bahwa Hilbert Transform mengalikan FFT dengan atau menggabungkan fungsi waktu dengan .$-j\operatorname{sign}(W(f))$$1/\pi t$

Apa arti dari transformasi Hilbert? Informasi apa yang kita dapatkan dengan menerapkan transformasi itu ke sinyal yang diberikan?

Salah satu aplikasi dari Hilbert Transform adalah untuk memperoleh apa yang disebut Sinyal Analitik. Untuk sinyal , Hilbert Transform didefinisikan sebagai komposisi:$s(t)$s ( t )$\hat{s}(t)$

Sinyal Analitik yang kita peroleh dinilai kompleks, oleh karena itu kami dapat mengungkapkannya dalam notasi eksponensial:

dimana:

$A(t)$ adalah amplitudo instan (amplop)

$\psi(t)$ adalah fase sesaat.

Jadi bagaimana ini membantu?

Amplitudo seketika dapat berguna dalam banyak kasus (ini banyak digunakan untuk menemukan amplop sinyal harmonik sederhana). Berikut adalah contoh untuk respons impuls:

Kedua, berdasarkan fase, kita dapat menghitung frekuensi sesaat:

Yang sekali lagi membantu dalam banyak aplikasi, seperti deteksi frekuensi nada menyapu, mesin berputar, dll.

Contoh penggunaan lainnya termasuk:

• Pengambilan sampel sinyal pita sempit dalam telekomunikasi (kebanyakan menggunakan filter Hilbert).

• Pencitraan medis.

• Pemrosesan array untuk Direction of Arrival.

• Analisis respons sistem.

Dalam istilah awam, transformasi Hilbert, ketika digunakan pada data nyata, memberikan "amplitudo (sesaat) yang sebenarnya" (dan beberapa lagi) untuk fenomena stasioner, dengan mengubahnya menjadi data kompleks "spesifik". Sebagai contoh, cosinus secara inheren dari amplitudo 1, yang tidak Anda lihat secara langsung, karena secara visual bergetar antara dan , dan secara berkala menghilang. Transformasi Hilbert melengkapi cosinus dalam "cara yang paling konsisten" sehingga fungsi kompleks yang dihasilkan menyimpan semua informasi awal, ditambah "amplitudo" -nya secara langsung merupakan modulus dari 1. Semua hal di atas memerlukan kehati-hatian, karena gagasan tentang keterbatasan dan lokalitas pita ikut berperan.$\cos(t)$$-1$$1$$\cos(t)+i\sin(t)$

Transformasi Hilbert (dan transformasi Riesz dalam dimensi yang lebih tinggi) mungkin menjadi alat yang lebih mendasar. Saya suka prolog Bab 2 dalam Penjelajahan dalam Analisis Harmonik dengan Aplikasi pada Teori Fungsi Kompleks dan Grup Heisenberg , oleh Steven G. Krantz:

Prolog: Transformasi Hilbert, tanpa pertanyaan, operator yang paling penting dalam analisis. Itu muncul dalam begitu banyak konteks yang berbeda, dan semua konteks ini terjalin dalam cara yang mendalam dan berpengaruh. Apa yang terjadi adalah bahwa hanya ada satu integral tunggal dalam dimensi 1, dan itu adalah transformasi Hilbert. Filosofinya adalah bahwa semua pertanyaan analitik yang penting berkurang menjadi satu kesatuan; dan di dimensi pertama hanya ada satu pilihan.

Aplikasi dalam pemrosesan sinyal / gambar banyak, mungkin karena sifat dasarnya: estimasi amplitudo / frekuensi sesaat, konstruksi filter sebab akibat hanya untuk amplitudo (hubungan Kramers-Krönig), wavelet directional 2D redundansi kecil, deteksi tepi invarian bergeser, dll.

Saya juga menyarankan dua volume oleh F. King, 2009, mengubah Hilbert .

Transformasi (FT atau Hilbert, dll.) Tidak membuat informasi baru dari ketiadaan. Dengan demikian, "informasi yang Anda dapatkan", atau dimensi tambahan dalam sinyal kompleks analitik yang dihasilkan yang disediakan oleh transformasi Hilbert dari sinyal 1D / nyata, adalah suatu bentuk peringkasan lingkungan lokal dari setiap titik dalam sinyal tersebut, digabungkan dengan titik.

Informasi seperti fase lokal dan amplitudo amplop benar-benar informasi tentang beberapa lebar atau luas (hingga tingkat tak terbatas) dari sinyal yang mengelilingi setiap titik lokal. Transformasi Hilbert, dalam menghasilkan satu komponen sinyal analitik kompleks dari sinyal nyata 1D, memadatkan beberapa informasi dari jangkauan sinyal di sekelilingnya ke setiap titik sinyal, sehingga memungkinkan seseorang untuk membuat lebih banyak keputusan (seperti demodulasi sedikit) , grafik amplitudo amplop, dll.) pada setiap titik atau sampel lokal (sekarang kompleks), tanpa harus memindai ulang dan / atau memproses jendela baru (wavelet, Goertzel berjendela, dll.) dengan lebar pada sinyal di setiap titik.

Sinyal analitik yang dihasilkan oleh transformasi Hilbert berguna dalam banyak aplikasi analisis sinyal. Jika bandpass Anda memfilter sinyal terlebih dahulu, representasi sinyal analitik memberi Anda informasi tentang struktur lokal sinyal:

• fase menunjukkan simetri lokal pada titik, di mana 0 adalah simetris positif (puncak), adalah simetris negatif (palung), dan adalah anti-simetris (naik / turunnya tepi).$\pi$$\pm \pi/2$
• amplitudo menunjukkan kekuatan struktur pada titik, terlepas dari simetri (fase).

Representasi ini telah digunakan untuk

• deteksi fitur melalui energi lokal (amplitudo)
• klasifikasi fitur menggunakan fase
• deteksi fitur melalui fase kongruensi

Ia juga telah meluas ke dimensi yang lebih tinggi menggunakan transformasi Riesz, misalnya sinyal monogenik.

Menerapkan transformasi Hilbert memungkinkan kita untuk membuat sinyal analitik berdasarkan pada beberapa sinyal bernilai riil asli. Dan di dunia komunikasi kita dapat menggunakan sinyal analitik untuk dengan mudah dan akurat menghitung besaran sesaat dari sinyal bernilai riil asli. Proses itu digunakan dalam demodulasi AM. Juga dari sinyal analitik, kita dapat dengan mudah dan akurat menghitung fase sesaat dari sinyal bernilai riil asli. Proses itu digunakan dalam fase dan demodulasi FM. Profesor Anda benar dalam meliput perubahan Hilbert karena sangat berguna dalam sistem komunikasi.

Jawaban yang bagus sudah, tetapi saya ingin menambahkan bahwa mengubah sinyal ke versi analitiknya mudah di domain digital (filter setengah pita yang dibutuhkan memiliki setengah dari koefisiennya sama dengan nol), tetapi begitu ada, laju sampel dapat dipotong dalam setengah, pada dasarnya memecah pemrosesan menjadi jalur nyata dan imajiner. Jelas, ada biaya di sini, dan beberapa persyaratan lintas perlu ditangani, tetapi umumnya sangat membantu dalam implementasi perangkat keras ketika clock rate merupakan faktor.

Sebagaimana telah dijelaskan dalam jawaban lain bahwa transformasi Hilbert digunakan untuk mendapatkan sinyal anaytic yang dapat digunakan untuk menemukan amplop dan fase sinyal.

Cara lain untuk melihat transformasi Hilbert adalah dalam domain frekuensi. Karena sinyal riil memiliki komponen frekuensi positif dan negatif yang identik, maka dalam analisis informasi ini berlebihan.

Hilbert Transform digunakan untuk menghilangkan bagian frekuensi negatif dan menggandakan besarnya bagian frekuensi positif (untuk menjaga daya tetap sama).

Di sini, filter Hilbert Transform yang dirancang adalah jalur pita yang melewati frekuensi dari 50MHz hingga 450 MHz. Input adalah jumlah dari dua sinyal sinusoidal yang memiliki frekuensi sama dengan 200MHz dan 500MHz.

Dari plot PSD, kita dapat melihat komponen frekuensi negatif dari sinyal 200MHz dilemahkan sementara sinyal 500MHz lolos.

Pertanyaan ini sudah memiliki banyak jawaban luar biasa, tetapi saya ingin memasukkan contoh dan penjelasan yang sangat sederhana dari halaman ini yang secara besar-besaran membersihkan konsep dan kegunaan transformasi Hilbert:

$z(t)$

$$\displaystyle z(t) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{\infty}Z(\omega)e^{j\omega t}d\omega$$ $Z(\omega)$$\exp(j\omega t)$$\omega$$A\cos(\omega t + \phi)$$A\exp[j(\omega t + \phi)]$$A\sin(\omega t + \phi)$

$$\displaystyle A e^{j(\omega t + \phi)} = A\cos(\omega t + \phi) + j A\sin(\omega t + \phi)$$ ${\cal H}_t\{x\}$$t$$x$$1$$-\pi/2$$+\pi/2$$x(t)$$y(t) = {\cal H}_t\{x\}$$z(t) = x(t) + j y(t)$$z(t)$$x(t)$$x(t)$$z(t)=x(t) + j {\cal H}_t\{x\}$$x(t)$ telah '' difilter. ''

(Penafian: Saya bukan penulis halaman)