Apa hubungan antara sigma di Laplacian of Gaussian dan dua sigma dalam Perbedaan of Gaussians?

Saya mengerti bahwa filter Laplacian-of-Gaussian dapat didekati dengan filter Difference-of-Gaussians, dan bahwa rasio dari dua sigma untuk yang terakhir harus 1: 1,6 untuk perkiraan terbaik. Namun, saya tidak yakin bagaimana dua sigma di Perbedaan Gaussi berhubungan dengan sigma untuk Laplacian of Gaussian. Apakah sigma yang lebih kecil pada yang pertama sama dengan sigma yang kedua? Apakah sigma yang lebih besar? Atau hubungan yang lain?

Saya mengerti bahwa filter Laplacian-of-Gaussian dapat didekati dengan filter Difference-of-Gaussians, dan bahwa rasio dari dua sigma untuk yang terakhir harus 1: 1,6 untuk perkiraan terbaik

Secara teori, semakin kecil rasio antara dua sigma, semakin baik aproksimasi. Dalam praktiknya, Anda akan mendapatkan kesalahan numerik di beberapa titik, tetapi selama Anda menggunakan angka floating point, nilai yang lebih kecil dari 1,6 akan memberi Anda perkiraan yang lebih baik.

Sebagai ilustrasi, saya telah merencanakan penampang LoG dan DoG untuk beberapa nilai k di Mathematica:

Seperti yang Anda lihat, k = 1.6 bukanlah perkiraan yang ideal. Sebagai contoh, k = 1.1 akan memberikan perkiraan yang lebih dekat.

Tetapi Anda biasanya ingin menghitung perkiraan LoG untuk berbagai sigma. (Kalau tidak, mengapa repot-repot dengan perkiraan DoG sama sekali? Menghitung satu gambar LoG yang difilter tidak lebih mahal daripada menghitung gambar DoG tunggal yang disaring.) Jadi nilai k biasanya dipilih sehingga Anda dapat menghitung serangkaian gaussian yang difilter gambar dengan sigma s, s k, s k ^ 2, s * k ^ 3 ..., dan kemudian menghitung perbedaan antara gaussians yang berdekatan. Jadi jika Anda memilih k yang lebih kecil, Anda harus menghitung lebih banyak "lapisan" gaussians untuk rentang sigma yang sama. k = 1.6 adalah trade-off antara menginginkan perkiraan dekat dan tidak ingin menghitung terlalu banyak gaussians berbeda.

Namun, saya tidak yakin bagaimana dua sigma dalam Perbedaan Gaussi berhubungan dengan sigma untuk Laplacian of Gaussian. Apakah sigma yang lebih kecil pada yang pertama sama dengan sigma yang kedua?

$t=\sigma ^2$$\sqrt{\sigma ^2+\text{$\Delta $t}}$$\sqrt{\sigma ^2-\text{$\Delta $t}}$$\text{$\Delta $t}\to 0$

$\sigma _{\text{Laplace}}=\sigma \sqrt{\frac{1+k^2}{2}}$

Mungkin formula di sini dapat membantu Anda.

Karena representasi ruang skala memenuhi persamaan difusi, LoG dapat dihitung sebagai perbedaan antara dua irisan ruang skala.

Oleh karena itu, ketika menurunkan formula DoG, pertama-tama kita memperkirakan LoG dengan perbedaan hingga. Saya pikir rasio spesifik untuk sigma berasal dari fakta langkah unit dalam skala diambil untuk mendekati LoG di tempat pertama.