Apa itu kutub dan nol?

Konsep kutub dan nol dalam filter diperkenalkan kepada saya selama lab kami (lab kami tidak disinkronkan dengan kuliah kami) melalui pembuatan plot filter nol kutub di MATLAB. Saya tidak mendapatkan pentingnya sampai disebutkan dalam kuliah kami bahwa kutub membuat persamaan tak terhingga (atau penyebutnya nol) sedangkan nol membuat akar dalam pembilang nol. Saya masih belum bisa memahami apa itu kutub dan nol. Dapatkah seseorang memberikan penjelasan yang intuitif dan sederhana tentang apa kutub dan nol itu? Sangat dihargai.

Ambil persamaan b / (xc) dengan b bukan nol. Rasio pergi ke tak terhingga ketika x mendekati c. Jadi c adalah lokasi tiang (sesuatu yang tinggi dan lancip dalam grafik).

Ambil persamaan (xb) / c dengan c non-nol. Rasio ini menjadi nol karena x semakin mendekati b. Jadi b adalah lokasi sesuatu yang biasa disebut "nol".

Anda tidak hanya dapat melakukan ini dengan skalar x, tetapi dengan kompleks x, sehingga domain kutub dan nol akan berada pada bidang (kompleks) bukan pada garis.

Jika rasio tersebut mewakili sesuatu tentang respons filter, ia mungkin mengatakan output filter berada pada atau mendekati nol ketika input berada pada atau di dekat respons "nol". Dan hal-hal buruk mungkin mulai terjadi ketika x mendekati kutub (catu daya mulai merokok ketika diminta untuk memasok amp yang tak terbatas, operasi matematika menghasilkan NaN atau titik tetap meluap, dll.)

Untuk menambah jawaban baik lainnya, saya menemukan grafik berikut ini membantu dalam mendapatkan pemahaman intuitif yang lebih baik, lebih khusus ke kutub dan nol fungsi transfer.

(PEMBARUAN: Saya juga baru saja menemukan posting serupa lainnya oleh @Endolith yang sangat bagus: Bagaimana kutub terkait dengan respons frekuensi )

Di bawah ini adalah fungsi transfer filter low pass dengan dua kutub pada bidang setengah kiri, yang diberikan oleh Transformasi Laplace dari respons impuls filter. Ini adalah sistem analog tetapi penggambaran yang setara dapat dilakukan untuk sistem digital di z-domain, bukan s-domain.

Plot di sebelah kiri adalah diagram khas yang kita lihat ketika diperkenalkan ke kutub dan nol yang menunjukkan lokasi mereka pada bidang-s, mencatat bahwa kutub adalah nilai untuk s yang membuat persamaan X (s) berubah hingga tak terhingga sedangkan nol adalah nilai untuk s yang membuat persamaan X menjadi nol. Jadi ya, sistem khusus ini juga memiliki dua nol pada tak terhingga karena nilai-nilai untuk s membuat persamaan menjadi nol.

Di sebelah kanan adalah plot 3D yang menunjukkan besarnya X (s) untuk semua nilai s pada bidang kompleks. Yang menarik adalah bahwa ini adalah satu-satunya plot yang akan dihasilkan dari rasio polinomial sedemikian rupa, sehingga kami benar-benar menggambarkannya hanya dari lokasi kutub dan nol! Jadi setiap titik pada permukaan ini dikomunikasikan dalam kasus ini hanya dari dua lokasi kutub yang diberikan.

Khususnya kami sering tertarik pada Respons Frekuensi filter atau sistem. s adalah input yang pada bidang kompleks diizinkan untuk memiliki komponen nyata dan imajiner. Khususnya ketika s adalah hanya memiliki nilai imajiner konstan, kami menggambarkan frekuensi konstan. Jadi sepotong di sepanjang$j\omega$ sumbu pada plot 3D yang diperlihatkan dari semua magnitudo akan menunjukkan respons magnitudo filter, seperti yang digambarkan di sudut kanan atas plot di atas (yang setara dengan besarnya Transformasi Fourier dari respons impuls filter).

Apa yang tidak diperlihatkan dalam grafik 3D di atas adalah "Wilayah Konvergensi" yang menunjukkan semua nilai s di mana Transformasi Laplace konvergen ke nilai yang terbatas tergantung pada apakah sistemnya kausal atau anti-kausal.

Fungsi transfer jaringan (kotak hitam) umumnya merupakan fungsi rasional dengan pembilang dan polinomial penyebut. Menurut teorema dasar aljabar Gauss, polinomial juga dapat ditulis sebagai produk dari nol polinomial. Nol dari polinomial penyebut karena itu membuat kutub dari fungsi transfer (1 / nol = tak terhingga -> kutub). Nol dari polinomial pembilang adalah nol dari fungsi transfer.

Lihat juga: http://www.rfcurrent.com/poles-and-zeroes

Pertama, Anda harus melihat z-plane sebagai satu set sinyal eksponensial yang kompleks. Jika$z = z_0$, kemudian sinyal diskrit yang sesuai $Re(z^n) = Re(z_0^0),\ Re(z_0^1),\ Re(z_0^2),\ ...$. Jika$|z_0|<1$, itu sinyal yang membusuk.

Kedua, kutub dan nol digunakan untuk menggambarkan sistem IIR, yaitu sistem dengan umpan balik.

Nol mudah: jika sistem memiliki nol $z_0$, itu berarti sinyal yang ditentukan oleh $z_0$pada bidang-z akan melewati loop umpan balik dan menjumlahkan dengan itu sendiri benar-benar keluar fase sehingga menghasilkan output nol. Polandia sedikit lebih rumit: jika sistem memiliki tiang di$z_0$, itu berarti suatu sistem akan menghasilkan sinyal ini daripada terganggu dan bergerak bebas. Tentunya jika sistem memiliki kutub untuk meningkatkan sinyal ($|z_0|>1$), itu tidak stabil. Saat mendesain filter, nol harus ditempatkan untuk menekan frekuensi yang tidak diinginkan. Polandia ditempatkan sedemikian rupa

• mereka membatalkan pengaruh nol untuk frekuensi yang harus dilewati
• filter tetap stabil