Ekspresi analitik untuk vektor eigen dari matriks simetris 3x3 nyata?

11

Saya menulis sebuah algoritma yang memproses gambar 3D berdasarkan momen inersia lokal.

Saya memiliki matriks simetris nyata 3x3, dari mana saya perlu menemukan nilai eigen. Saya telah menemukan berbagai algoritma umum untuk diagonalisasi matriks di luar sana, tetapi saya tidak bisa mengetahui apakah ada ekspresi analitik untuk 3 vektor eigen dari matriks semacam itu.

Apakah seseorang yang ahli dalam matematika tahu itu?

EDIT

Sebagai catatan, inilah yang saya temukan pada pertanyaan itu sendiri. Seperti yang dikatakan Matthias Odisio, Anda tidak bisa turun ke ekspresi analitik sederhana segera setelah Anda memiliki matriks 3x3.

Namun saya telah menemukan makalah khusus untuk kasus khusus matriks 3x3 hermitian, di mana berbagai pendekatan khusus numerik dibandingkan:

http://arxiv.org/abs/physics/0610206

Berikut adalah kode C dan Fortran dari makalah ini:

http://www.mpi-hd.mpg.de/personalhomes/globes/3x3/index.html

3d matrix Jean-Yves
sumber

Jawaban:

8

Wolfram | Alpha telah mempermudah hal-hal tersebut :

masukkan deskripsi gambar di sini

Matthias Odisio
sumber
Bagus. Saya tidak sadar bahwa Anda dapat melakukan hal-hal seperti itu di alat online gratis. Saya harus memeriksanya untuk melihat berapa banyak Mathematica memberi Anda.
Jason R
Aduh! Saya kira inilah sebabnya orang beralih ke resolusi numerik. Ini sulit dibaca. Selain itu saya melihat angka imajiner di sana. Saya kira saya seharusnya menambahkan bahwa a, bc, d, e, dan f adalah nyata. Bisakah Anda melakukannya di Mathematica?
Jean-Yves
Mathematica memiliki cara komprehensif untuk mendefinisikan "operator fundamental" (Sqrt, Power, Log, dll.) Untuk bilangan kompleks (masalah pemangkasan cabang, dll.). Yakinlah bahwa nilai riil apa pun yang Anda ganti dengan simbol 'a', ..., 'f' dengan, vektor eigen akan menjadi nyata (mis. Bagian imajiner mereka akan kurang dari, katakanlah, 10 ^ -12).
Matthias Odisio
Saya telah menemukan bahwa Anda dapat membangun asumsi seperti itu menggunakan sintaksis seperti "a [Element] Reals". Tetapi mulai sekarang, saya memerlukan lisensi Mathematica, yang tidak saya miliki;)
Jean-Yves
2
Penting untuk menyatakan jumlah menggunakan bilangan kompleks, bahkan jika entri a, ..., f adalah bilangan real. Seorang kolega menunjuk saya ke en.wikipedia.org/wiki/Casus_irreducibilis yang menjelaskan masalahnya.
Matthias Odisio