Transformasi Fourier diskrit nyata

Saya mencoba memahami DFT asli dan DFT dan mengapa perbedaan itu ada.

Dari apa yang saya ketahui sejauh ini DFT menggunakan untuk basis vektor dan memberikan representasi x [ n ] = N - 1 ∑ k = 0 X [ k ] e i 2 π k n / N Jumlahnya ditulis dari k = 0 ke N - 1 karena alasan historis, saya pikir daripada menulisnya dengan cara yang analog dengan seri Fourier dengan penjumlahan dari k $e^{i2\pi kn/N}$

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$$ $k=0$$N-1$ hingga N / 2 - 1 : x [ n ] = N / 2 - 1 ∑ k = - N / 2 X [ k ] e i 2 π k n / N Ini bergantung pada keanehan aneh DFT di mana frekuensi tinggi sama dengan frekuensi negatif: e i 2 π k n / N = e i $k=-N/2$$N/2-1$ $$x[n]=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1}X[k]e^{i2\pi kn/N}$$ .$e^{i2\pi kn/N}=e^{i2\pi (k-N)n/N}$

Melanjutkan analogi dengan Fourier Series DFT nyata memberikan representasi Ini dapat dilihat sebagai pasanganei2πkn/Ndengane-i2πkn/Ndalam representasi DFT di mana jumlah berkisar darik=-N/2hinggaN/2-1. Ini sangat mirip dengan pasangancneinθ+c-ne-inθ

$$x[n]=\sum_{k=0}^{N/2}\left(X_R[k]\cos\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)-X_I[k]\sin\left(\frac{2\pi kn}{N}\right)\right)$$ $e^{i2\pi kn/N}$$e^{-i2\pi kn/N}$$k=-N/2$$N/2-1$ yang menghubungkan dua representasi dari Fourier Series: ∞ ∑ - ∞ c n e i n θ = a $c_n e^{in\theta}+c_{-n}e^{-in\theta}=a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta$ $$\sum_{-\infty}^\infty c_n e^{in\theta}= \frac{a_0}{2} + \sum_1^{\infty}(a_n \cos n\theta + b_n \sin n\theta)$$

Pertanyaan sayalalu mengapa DFT jauh lebih lazim daripada DFT nyata? Orang akan berharap bahwa karena DFT yang sebenarnya menggunakan sinus dan cosinus bernilai nyata sebagai dasar dan dengan demikian mewakili gambar geometris yang lebih baik maka orang akan lebih menyukainya. Saya dapat melihat mengapa DFT dan Transformasi Fourier kontinu lebih disukai dalam pengertian teoretis karena aljabar eksponensial lebih sederhana. Tetapi mengabaikan aljabar yang lebih sederhana, dari sudut pandang komputasi praktis yang diterapkan mengapa DFT lebih berguna? Mengapa merepresentasikan sinyal Anda dengan eksponensial kompleks lebih berguna dalam berbagai aplikasi fisika, ucapan, gambar, dll. Dari pada menguraikan sinyal Anda menjadi sinus dan kosinus. Juga jika ada sesuatu yang halus yang saya lewatkan dalam paparan saya di atas, saya ingin tahu: Saya

$A\exp(j\omega t)$$H(\omega)A\exp(j\omega t)$$A$set eksponensial yang sama . Selanjutnya, setiap bobot baru diperoleh dengan mengalikan bobot lama dengan angka yang sesuai.

$\cos(\omega t)$$\sin(\omega t)$

$$\begin{align*} \cos(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) + \exp(-j\omega t)}{2}\\ \sin(\omega t) &= \frac{\exp(j\omega t) - \exp(-j\omega t)}{2j} \end{align*}$$

$\cos(\omega t)$$B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$$\cos(\omega t)$$B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$$\cos(\omega t)$$B(\omega)\cos(\omega t) + C(\omega)\sin(\omega t)$$\sin(\omega t)$

$$\cos (\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)$$

Tetapi, seperti dalam kehidupan nyata, jarak tempuh Anda mungkin berbeda-beda, dan jika Anda merasa bahwa representasi dosa / cos adalah cara untuk pergi dan eksponensial kompleks harus dihindari, Anda bebas untuk mengikuti kata hati Anda. Jika Anda kesulitan mengomunikasikan ide-ide Anda kepada kolega, bos, klien atau konsultan, itu akan menjadi kerugian mereka, bukan milik Anda.