Apa yang dimaksud dengan "momen spektral"?

Saya telah berkonsultasi dengan oracle mahakuasa dari google dan wiki, tetapi sepertinya saya tidak dapat menemukan definisi untuk frasa "momen spektrum".

Teks kerja lawas yang saya baca menggunakannya dengan cara berikut, mendefinisikan jumlah penyilangan nol per satuan waktu sebagai berikut:

$$N_0 = \frac1{\pi} \left(\frac{m_2}{m_0}\right)^{1/2}$$

Kemudian melanjutkan untuk menentukan lebih lanjut jumlah ekstrem per satuan waktu seperti yang diberikan oleh:

$$N_e = \frac{1}{\pi}\left(\frac{m_4}{m_2}\right)^{1/2}$$

di mana ia pergi pada akhirnya mengatakan, "di mana $m_i$ adalah $i$ th saat spektrum."

Adakah yang pernah mengalami ini sebelumnya? Apa "momen" suatu spektrum? Saya belum pernah mendengarnya di literatur DSP sebelumnya.

Asumsikan sinyal low-pass di seluruh.

$X(f)$$|X(f)|^2$$m_k$

$$m_k = \int_{-\infty}^\infty f^k |X(f)|^2 \mathrm df.$$ $m_0$$m_1 = 0$ $G$ $$G = \sqrt{\frac{\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df}} = \sqrt{\frac{m_2}{m_0}}.$$ $|X(f)|^2$$|X(f)|^2$$m_0$$|X(f)|^2/m_0$ $$\sigma^2 = \int_{-\infty}^\infty f^2 \frac{|X(f)|^2}{m_0} \mathrm df = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |X(f)|^2 \mathrm df} = G^2$$

$G$$2G = 2\sqrt{\frac{m_2}{m_0}}$$\omega$$G$$2\pi$

$$N_0 = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_2}{m_0}} ~ \text{zero crossings per second.}$$

$x(t)$$j2\pi f X(f)$$|2\pi f X(f)|^2$

$$\begin{align*}G^\prime &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty |2\pi f X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^4 |X(f)|^2 \mathrm df}{\displaystyle\int_{-\infty}^\infty f^2 |X(f)|^2 \mathrm df}}\\ &= \sqrt{\frac{m_4}{m_2}}. \end{align*}$$ $$N_e = \frac{1}{\pi} \sqrt{\frac{m_4}{m_2}} ~ \text{extrema per second.}$$

Saya tidak tahu bahwa saya pernah mendengar istilah itu sebelumnya, tetapi saya akan menafsirkan istilah "momen" sebagai memiliki makna analog dengan konsep fisik pusat massa dan momen pertama dan kedua area:

$$m_k=\int_{-\infty}^{\infty} f^kX(f)\ df$$

$k$

$L$

ekspresi yang melibatkan produk jarak dan kuantitas fisik lainnya, dan dengan cara ini menjelaskan bagaimana kuantitas fisik ditempatkan atau diatur

$\alpha$$g$$D$$c$

$$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D (t-c)^\alpha g(t)d t$$ $$m_{g_D}(\alpha,c) = \int_D [t-c|^\alpha g(t)d t$$ $x$$X(f)$$g(\cdot) = |X(\cdot)|^2$ $$m_\alpha = \int_{f\ge 0} f^\alpha \frac{|X(f)|^2}{\int_{\nu\ge 0} |X(\nu)|^2d\nu}df$$

Lihat misalnya: Perhitungan momen spektral yang efisien untuk penentuan statistik respons acak untuk momen spektral: "Momen spektral dihitung dari PSD satu sisi".

$L$$m_1/m_2$