Analisis numerik yang kompleks

10

Apa situasi analisis numerik menjadi lebih / kurang stabil, memiliki konvergensi lebih cepat / lebih lambat, atau sebaliknya sangat berbeda ketika berhadapan dengan fungsi variabel kompleks daripada fungsi variabel nyata?

algorithms vtt
sumber
Pertanyaan Anda hanya sedikit kabur ... Bisakah Anda menyarankan "situasi" atau "algoritma" tertentu yang ada dalam pikiran Anda? Ini akan banyak membantu kami untuk menjawab pertanyaan Anda.
Paul
Satu-satunya contoh di mana sejumlah muncul kompleks dalam numeric saya tahu adalah persamaan Maxwell, tapi tidak ada kesulitan intrinsik hanya dengan beberapa angka berada di . Namun, jika Anda mengganti semua bilangan kompleks dengan vektor atau matriks nyata, maka Anda melihat perkalian dengan bilangan kompleks menjadi penggandaan dengan matriks skew-simetris. Jangan apakah ini menyiratkan sesuatu. C
shuhalo
2
@ Martin: Bidang kompleks adalah pengaturan alami untuk polinomial karena teorema aljabar dasar. Karena nilai eigen dari sebuah matriks adalah akar dari polinomial karakteristiknya, dan secara umum kompleks bahkan untuk matriks nyata, aljabar linier paling alami dibangun di atas bidang kompleks.
Jack Poulson
1
Di sisi lain, saksikan misalnya algoritma QR double-shift, yang menggandakan secara tepat untuk menghindari penggunaan aritmatika kompleks. Saksikan juga algoritma Jenkins-Traub kuadratik, yang dirancang untuk menemukan akar polinomial yang kompleks sebagai pasangan konjugat pada suatu waktu ...
JM
Saya agak bingung dengan hal ini karena untuk menambah kebingungan pada campuran, ada kalanya bilangan kompleks pada dasarnya hanya diperlakukan sebagai pasangan bilangan real untuk keperluan pembukuan.
Geoff Oxberry

Jawaban:

7

Diferensial numerik kompleks stabil, tidak seperti diferensiasi numerik nyata.

Lihat halaman 32-33 dari "Analisis Kompleks Terapan dan Komputasi" vol 3, Peter Henrici,

"Pendekatan Derivatif Kompleks-Langkah", JOAQUIM RRA MARTIN, PETER STURDZA dan JUAN J. ALONSO,

dan artikel Wikipedia ini tentang metode variabel kompleks untuk diferensiasi numerik.

vtt
sumber
Selain itu, penggunaan numerik rumus diferensiasi Cauchy kadang-kadang merupakan algoritma yang layak. Lihat juga metode oleh Lyness dan lainnya yang bergantung pada transformasi Fourier cepat untuk menghitung koefisien Taylor dari suatu fungsi (yaitu, mengevaluasi urutan turunan pada nilai yang diberikan).
JM
Karena penasaran, selain artikel Wikipedia, apakah ada sumber daya daring yang dapat Anda tunjukkan kepada kami?
Geoff Oxberry
1
@ Geoff: Ini dan ini berurusan dengan pendekatan Lyness untuk diferensiasi; artikel ini oleh Squire dan Trapp adalah makalah asli yang merinci pendekatan "langkah kompleks" untuk diferensiasi numerik.
JM
3

Aritmatika interval kompleks menggunakan berbagai jenis interval, misalnya persegi panjang atau lingkaran, jadi ada lebih banyak yang harus dipertimbangkan daripada saat menggunakan interval nyata.

"Aritmatika interval kompleks dan aplikasinya", Miodrag Petkovic, Ljiljana Petkovic

vtt
sumber
2
Mengapa menjawab pertanyaan Anda sendiri tiga kali alih-alih merespons dengan ketiga komentar sekaligus?
Jack Poulson
1

Sebuah artikel:

"Algoritma numerik berdasarkan teori variabel kompleks", JN Lyness - Prosiding konferensi nasional 2267 1967, 1967

vtt
sumber