Diberikan sebagai berikut:

1. Waktu, t
2. Himpunan data IS-200 Ephemeris, E, dari Satelit GPS yang sesuai dengan waktu t
3. Posisi ECEF dari satelit GPS, P = (x, y, z), berasal dari waktu dan ephemeris, (t, E).
4. Asumsikan bumi hanyalah ellipsoid WGS-84.
5. Semua titik pada WGS-84 memiliki sudut topeng, m.

Temukan yang berikut ini:

1. cincin cakupan, R, pada WGS-84 dari satelit GPS. yaitu, batas yang membedakan titik WGS-84 dalam pandangan satelit pada titik P = (x, y, z) dan titik WGS-84 mana yang tidak dalam pandangan

Solusi yang dapat diterima:

1. Spline di atas WGS-84 yang mendekati R.
2. Poligon di atas WGS-84 yang mendekati R.
3. Atau formula yang memberi saya R.

Apa yang saya coba sejauh ini:

• Biarkan e ^ 2 = 0,0066943799901264; eksentrisitas kuadrat

Kami memiliki posisi ECEF WGS-84 oleh geodetic latitude phi dan longitude lambda:

r = 1 / (sqrt (1-e ^ 2 sin ^ 2 (phi))) * (cos (phi) * cos (lambda), cos (phi) * sin (lambda), (1-e ^ 2) * sin (phi))

Saya kemudian mengonversi bingkai geografis ECEF ke timur-utara ke atas (ENU) dengan phi dan lambda menggunakan matriks:

     (-sin(lambda)                  cos(lambda)                  0       )
C=   (-cos(lambda)*sin(phi)        -sin(lambda)*sin(phi)         cos(phi))
     ( cos(lambda)*cos(phi)         sin(lambda)*cos(phi)         sin(phi))

• Misalkan G = C (P - r)
• Ambil komponen z dari G. jika komponen z dari G lebih besar dari dosa (m) maka saya tahu intinya, r, ada di pandangan. Tapi itu tidak cukup mendapatkan solusi yang saya cari. Saya hanya bisa menemukan banyak titik yang ada dalam pandangan dan mengambil cembung lambung dari titik-titik itu, tetapi itu tidak efisien sama sekali.

Solusi untuk ellipsoid cukup berantakan - ini adalah bentuk yang tidak beraturan, bukan lingkaran - dan lebih baik dihitung secara numerik daripada dengan rumus.

Pada peta dunia, perbedaan antara solusi WGS84 dan solusi murni bola hanya akan hampir tidak terlihat (sekitar satu piksel pada layar). Perbedaan yang sama akan dibuat dengan mengubah sudut topeng sekitar 0,2 derajat atau dengan menggunakan pendekatan poligonal. Jika kesalahan ini cukup kecil, maka Anda dapat mengeksploitasi simetri bola untuk mendapatkan formula sederhana.

Peta ini (menggunakan proyeksi Equirectangular) menunjukkan cakupan untuk satelit pada 22.164 kilometer (dari pusat bumi) dengan sudut topeng m = 15 derajat pada spheroid WGS84. Menghitung ulang cakupan untuk bola tidak tampak mengubah peta ini.

Di bola, cakupan akan benar-benar lingkaran yang berpusat di lokasi satelit, jadi kita hanya perlu mencari jari-jarinya, yang merupakan sudut. Sebut ini t . Pada penampang ada segitiga OSP yang dibentuk oleh pusat bumi (O), satelit (S), dan titik apa pun (P) pada lingkaran:

• Sisi OP adalah jari-jari bumi, R .

• OS sisi adalah ketinggian satelit (di atas pusat bumi). Sebut ini h .

• Sudut OPS adalah 90 + m .

• Sudut SOP adalah t , yang ingin kita temukan.

• Karena ketiga sudut segitiga berjumlah 180 derajat, sudut ketiga OSP harus sama dengan 90 - ( m + t ).

Solusinya sekarang adalah masalah trigonometri dasar. Hukum (planar) sinus menegaskan hal itu

sin(90 - (m+t)) / r = sin(90 + m) / h.

Solusinya adalah

t = ArcCos(cos(m) / (h/r)) - m.

Sebagai tanda centang, pertimbangkan beberapa kasus ekstrim:

1. Ketika m = 0, t = ArcCos (r / h), yang dapat diverifikasi dengan geometri Euclidean dasar.

2. Ketika h = r (satelit belum diluncurkan), t = ArcCos (cos (m) / 1) - m = m - m = 0.

3. Ketika m = 90 derajat, t = ArcCos (0) - 90 = 90 - 90 = 0, sebagaimana mestinya.

Ini mengurangi masalah untuk menggambar lingkaran pada bola, yang dapat diselesaikan dengan banyak cara. Misalnya, Anda dapat menyangga lokasi satelit dengan t * R * pi / 180 menggunakan proyeksi berjarak sama yang berpusat di satelit. Teknik untuk bekerja dengan lingkaran di bola langsung diilustrasikan di /gis//a/53323/664 .

Edit

FWIW, untuk satelit GPS dan sudut topeng kecil (kurang dari 20 derajat atau lebih), perkiraan non-trigonometrik ini akurat (untuk beberapa persepuluh derajat dan kurang dari beberapa ratus derajat ketika sudut topeng di bawah 10 derajat) ):

t (degrees) = -0.0000152198628163333 * (-5.93410042925107*10^6 + 
              3.88800000000000*10^6 r/h + 65703.6145507725 m + 
              9.86960440108936 m^2 - 631.654681669719 r/h m^2)

Misalnya, dengan sudut topeng m = 10 derajat dan satelit pada 26.559,7 km di atas pusat bumi (yang merupakan jarak nominal satelit GPS ), perkiraan ini menghasilkan 66.32159 ..., sedangkan nilainya (sesuai untuk bola ) adalah 66.32023 ....

(Perkiraan didasarkan pada ekspansi deret Taylor sekitar m = 0, r / h = 1/4.)