Bagaimana Anda menghitung jari-jari bumi pada lintang geodetik tertentu?

(Saya melihat ada persamaan pada wikipedia yang melakukan persis seperti yang saya tanyakan tetapi tidak ada referensi. Saya tidak punya cara untuk mengkonfirmasi validitas persamaan ini!)

Saya sudah mengerti perbedaan antara Geocentric Latitude vs Geodetic Latitude.

Dengan asumsi semi mayor,, adan semi minor b,, radius diberikan. Bagaimana Anda menghitung jari-jari pada lintang geodetik tertentu?

Saya perlu semacam konfirmasi ahli (derivasi, tautan ke derivasi, konfirmasi dari pakar, penjelasan, dll).

Pertanyaan ini mengasumsikan model bumi ellipsoidal. Permukaan referensi diperoleh dengan memutar elips di sekitar sumbu minornya (diplot secara vertikal dengan konvensi). Elips semacam itu hanyalah sebuah lingkaran yang telah diregangkan secara horizontal oleh faktor a dan secara vertikal oleh faktor b . Menggunakan parameterisasi standar lingkaran unit,

t --> (cos(t), sin(t))

(yang mendefinisikan cosinus dan sinus), kami memperoleh parameterisasi

t --> (a cos(t), b sin(t)).

(Dua komponen dari parameterisasi ini menggambarkan perjalanan di sekitar kurva: mereka menentukan, dalam koordinat Cartesian, lokasi kami di "waktu" t .)

The lintang geodetik , f , dari setiap titik adalah sudut yang "up" merek ke bidang ekuator. Ketika a berbeda dari b , nilai f berbeda dari t (kecuali sepanjang khatulistiwa dan di kutub).

Dalam gambar ini, kurva biru adalah salah satu kuadran dari elips semacam itu (sangat berlebihan dibandingkan dengan eksentrisitas bumi). Titik merah di sudut kiri bawah adalah pusatnya. Garis putus-putus menunjuk jari-jari ke satu titik di permukaan. Arahnya "naik" di sana ditunjukkan dengan segmen hitam: menurut definisi, tegak lurus terhadap elips pada titik itu. Karena eksentrisitas yang berlebihan, mudah untuk melihat bahwa "naik" tidak sejajar dengan jari-jari.

Dalam terminologi kami, t terkait dengan sudut yang dibuat oleh jari-jari ke horizontal dan f adalah sudut yang dibuat oleh segmen hitam itu. (Perhatikan bahwa titik mana pun di permukaan dapat dilihat dari perspektif ini. Ini memungkinkan kita membatasi t dan f untuk berada di antara 0 dan 90 derajat; cosinus dan sinusnya akan positif, jadi kita tidak perlu khawatir tentang negatif akar kuadrat dalam formula.)

Triknya adalah mengkonversi dari t -parameterization ke satu dalam bentuk f , karena dalam hal t jari-jari R mudah untuk dihitung (melalui teorema Pythagoras). Kuadratnya adalah jumlah kuadrat dari komponen titik,

R(t)^2 = a^2 cos(t)^2 + b^2 sin(t)^2.

Untuk melakukan konversi ini, kita perlu menghubungkan arah "naik" f ke parameter t . Arah ini tegak lurus terhadap garis singgung elips. Menurut definisi, garis singgung kurva (dinyatakan sebagai vektor) diperoleh dengan membedakan parameterisasi:

Tangent(t) = d/dt (a cos(t), b sin(t)) = (-a sin(t), b cos(t)).

(Diferensiasi menghitung laju perubahan. Tingkat perubahan posisi kita saat kita melakukan perjalanan di sekitar kurva, tentu saja, kecepatan kita , dan itu selalu menunjuk sepanjang kurva.)

Putar 90 derajat searah jarum jam untuk mendapatkan tegak lurus, yang disebut vektor "normal":

Normal(t) = (b cos(t), a sin(t)).

Kemiringan vektor normal ini, sama dengan (a sin (t)) / (b cos (t)) ("bangkit seiring berjalannya"), juga merupakan garis singgung dari sudut yang dibuatnya terhadap horizontal, dari mana

tan(f) = (a sin(t)) / (b cos(t)).

Setara,

(b/a) tan(f) = sin(t) / cos(t) = tan(t).

(Jika Anda memiliki wawasan yang baik tentang geometri Euclidean, Anda dapat memperoleh hubungan ini langsung dari definisi elips tanpa melalui setiap trigonometri atau kalkulus, cukup dengan mengakui bahwa ekspansi horisontal dan vertikal gabungan oleh a dan b masing-masing memiliki efek mengubah semua lereng oleh faktor ini b / a .)

Lihat lagi rumus untuk R (t) ^ 2: kita tahu a dan b - mereka menentukan bentuk dan ukuran elips - jadi kita hanya perlu menemukan cos (t) ^ 2 dan sin (t) ^ 2 dalam hal f , dimana persamaan sebelumnya memungkinkan kita melakukannya dengan mudah:

cos(t)^2 = 1/(1 + tan(t)^2) 
         = 1 / (1 + (b/a)^2 tan(f)^2) 
         = a^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2);
sin(t)^2 = 1 - cos(t)^2 
         = b^2 tan(f)^2 / (a^2 + b^2 tan(f)^2).

(Ketika tan (f) tidak terbatas, kita berada di kutub, jadi atur saja f = t dalam kasus itu.)

Ini koneksi yang kami butuhkan. Ganti nilai-nilai ini untuk cos (t) ^ 2 dan sin (t) ^ 2 ke dalam ekspresi untuk R (t) ^ 2 dan sederhanakan untuk mendapatkan

R(f)^2 = ( a^4 cos(f)^2 + b^4 sin(f)^2 ) / ( a^2 cos(f)^2 + b^2 sin(f)^2 ).

Transformasi sederhana menunjukkan bahwa persamaan ini sama dengan persamaan yang ditemukan di Wikipedia. Karena a ^ 2 b ^ 2 = (ab) ^ 2 dan (a ^ 2) ^ 2 = a ^ 4,

R(f)^2 = ( (a^2 cos(f))^2 + (b^2 sin(f))^2 ) / ( (a cos(f))^2 + (b sin(f))^2 )

Menarik untuk menemukan bahwa solusi matematika saya buta huruf melakukan pekerjaan dengan 5 menit pemikiran dan pengkodean, bukankah faktor perataan harus dipertimbangkan daripada model elips yang sempurna?

        double pRad = 6356.7523142;
        double EqRad = 6378.137;                      
        return pRad + (90 - Math.Abs(siteLatitude)) / 90 * (EqRad - pRad); 

Setidaknya itulah rumus yang saya temukan di Pusat Analisis dan Penilaian Data AS (DAAC) untuk wiki Program Modernisasi Komputasi Kinerja Tinggi (HPCMP) . Dikatakan bahwa mereka meminjam banyak dari entri Wikipedia . Namun, fakta bahwa mereka mempertahankan formula itu harus dihitung untuk sesuatu.