Bukti matematis bahwa tegangan RMS dikali arus RMS memberikan daya rata-rata

Saya tahu ini benar karena saya membacanya di sumber yang memiliki reputasi baik. Saya juga mengerti secara intuitif bahwa daya sebanding dengan kuadrat tegangan atau arus untuk beban resistif, dan bahwa "S" dalam RMS adalah untuk "kuadrat". Saya mencari bukti matematika yang sulit.

Biarkan menunjukkan arus pada saat , dan juga menunjukkan tegangan pada saat itu. Jika kita dapat mengukur tegangan dan arus di semua instants, dan ada instants, maka daya nyata yang tampak adalah:$I_i$$i$$V_i$$n$

$$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Apa bukti matematis yang elegan itu

$$P = I_{RMS} V_{RMS}$$

mencapai hasil yang sama untuk beban resistif?

Hukum Ohm

$$1: V(t) = I(t)R$$

Disipasi daya sesaat adalah produk dari tegangan dan arus

$$2: P(t) = V(t)I(t)\\ $$

Ganti 1 menjadi 2 untuk mendapatkan daya sesaat melalui resistor dalam hal tegangan atau arus:

$$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\ $$

Kekuatan rata-rata secara definitif merupakan bagian integral dari kekuatan sesaat dalam suatu periode, dibagi dengan periode itu. Ganti 3 ke dalam untuk mendapatkan daya rata-rata dalam hal tegangan dan arus.

$$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\ $$

Definisi RMS saat ini Segi dua sisi Kalikan dengan R untuk menemukan persamaan 4 untuk daya rata-rata Definisi tegangan RMS kedua sisi Dibagi dengan R untuk menemukan persamaan 4 untuk daya rata-rata Gandakan ekspresi 7 dan 10 untuk daya rata-rata Akar kuadrat dari kedua sisi

$$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\ $$ $$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\ $$ $$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\ $$ $$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\ $$ $$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\ $$ $$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\ $$ QED

Bukti yang sangat sederhana (dalam kasus pengambilan sampel diskrit dalam pertanyaan) adalah dengan menggantikan E / R untuk I dalam persamaan RMS

$$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$$

dan aljabar yang sangat sederhana.

Dan ya, ini benar karena ditentukan bahwa kami memiliki beban resistif murni sehingga tidak ada masalah sudut fase dan tidak ada harmonik hadir di I yang juga tidak hadir di E.

EDIT

definisi RMS untuk poin diskrit (dari Wikipedia):

$$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$$

jadi

$$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

dan

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$$

dan oleh Hukum Ohm substitusi:

$$I_i = V_i/R$$

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$$

kemudian:

$$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$$

Menarik keluar 1 / R ^ 2

$$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$$

begitu:

$$V_{RMS} * I_{RMS}$$ adalah:

$$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$$

mendistribusikan 1 / R:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$$

Menggunakan subtitusi Hukum Ohm lagi:

$$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$$

yang mana:

$$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$$

Kuncinya adalah bahwa untuk beban resistif, tegangan dan arus berada dalam fase.

Jika tegangan dan arus keduanya , maka produk mereka diberikan oleh persamaan . Daya adalah gelombang sinus dua kali frekuensi, yang berosilasi sekitar . Ini adalah rata-rata dari waktu ke waktu ("rata-rata" dari "kotak"). Akar dari mean square adalah . Di situlah kita mendapatkan nomor ajaib itu.$\sin(t)$$\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$$1/2$$\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Tegangan akar kuadrat atau arus adalah tegangan dan arus ekivalen DC yang akan menghasilkan disipasi daya yang sama dari waktu ke waktu . Jika disipasi daya rata-rata adalah W, maka disipasi daya tersebut dapat terus diproduksi oleh VDC dikalikan dengan A DC.$1/2$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$

Jika arus dan tegangan di luar fase 90 derajat (beban reaktif murni), maka kita dapat menganggap satu sebagai dan yang lainnya . Kesetaraan yang berlaku adalah . Bentuk gelombang daya tidak lagi "bias" berosilasi sekitar ; rata-ratanya adalah nol: daya mengalir masuk dan keluar dari beban pada setengah siklus alternatif, saat gelombang daya berayun positif dan negatif.sin ( t ) sin ( t ) cos ( t ) = 1 / 2 sin ( 2 t ) 1 /$\cos(t)$$\sin(t)$$\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$$1/2$

Jadi untuk menjawab pertanyaan, tegangan dan arus RMS ditentukan berdasarkan daya rata-rata: masing-masing berasal dari akar kuadrat dari daya rata-rata. Mengalikan dua nilai bersama yang diperoleh dari akar kuadrat dari daya rata-rata, memulihkan daya rata-rata.

Mari kita lebih menyederhanakan masalah ini tanpa matematika. Ambil rangkaian sederhana ini yang menghasilkan bentuk gelombang persegi dengan periode 10 detik.

Tegangannya seperti ini

dan saat ini

Maka bentuk gelombang daya akan

Ketika sakelar terbuka, tidak ada daya yang dikirim ke resistor sehingga energi totalnya adalah 10 watt X 5 detik = 50 Joule, dan itu sama seperti kita menerapkan 5 watt dalam 10 detik

dan ini adalah kekuatan rata-rata. Tegangan rata-rata adalah 5 volt dan arus rata-rata adalah 0,5 ampere. Melakukan perhitungan sederhana, hasil rata-rata daya 2,5Watt atau 25 Joule yang tidak benar.

Jadi mari kita buat trik ini DENGAN PESANAN INI:

1. Kuadrat pertama tegangan (dan arus)

2. Kedua, ambil rata-rata bujur sangkar

3. Kemudian ambil akar kuadrat dari rata-rata

Kuadrat dari bentuk gelombang tegangan akan

Dan rata-rata adalah 50V ^ 2 (bukan 50 ^ 2 volt). Dari titik ini lupakan tentang bentuk gelombang. Hanya nilai. Akar kuadrat dari nilai di atas adalah 7.071 ... volt RMS. Melakukan hal yang sama dengan arus akan ditemukan 0,7071..A RMS Dan daya rata-rata 7,071V x 0,7071A = 5 Watt

Jika Anda mencoba untuk melakukan hal yang sama dengan kekuatan RMS hasilnya akan menjadi rata-rata 7.071Watt.

Jadi satu-satunya kekuatan pemanasan yang setara adalah daya rata-rata dan satu-satunya cara untuk menghitung adalah dengan menggunakan nilai rms dari tegangan dan arus