Mengapa teorema bahaya lomba bekerja?

Jadi bagi mereka yang tidak tahu, the hazard hazard theorem (RHT) menyatakan bahwa:

A x B + A 'x C = A x B + A' x C + B x C

Saya memahami bagian lain dari RHT, tentang penundaan waktu dan semacamnya, tetapi saya tidak mengerti mengapa pernyataan logika di atas harus benar, dapatkah seseorang membantu saya memahami hal ini?

Seperti yang telah ditunjukkan orang lain, secara matematis pernyataannya persis sama, dan istilah tambahannya adalah "berlebihan". Itu juga akan "berlebihan" bagi saya untuk menyalin bukti matematika mereka di sini.

Anda juga dapat dengan mudah memverifikasi pernyataan yang setara dengan membuat tabel kebenaran 8 baris untuk tiga kombinasi input.

    A B C           A*B + A'*C                       A*B + A'*C + B*C
    0 0 0               0                                    0
    0 0 1               1                                    1
    0 1 0               0                                    0
    0 1 1               1  ** hazard b/w states              1
    1 0 0               0                                    0
    1 0 1               0                                    0
    1 1 0               1                                    1
    1 1 1               1  ** hazard b/w states              1

Tujuan dari istilah tambahan adalah untuk mencegah A dari menyebabkan toggling setiap kali B dan C tinggi.

Sebagai contoh, misalkan ada waktu tunda yang terbatas antara A dan A '(masuk akal). Sekarang juga pertimbangkan bahwa B dan C adalah '1'. Seperti yang Anda lihat dalam bentuk gelombang di bawah ini, ada kesalahan pada output.

Dengan asumsi logikanya CMOS statis, kesalahannya dapat dipulihkan. Tapi, jika itu adalah beberapa bentuk logika dinamis, itu bisa menyebarkan kesalahan.

Penambahan istilah redundan adalah solusi untuk menutupi kesalahan.

Bukti oleh aljabar Boolean:

A x B + A 'x C [Sisi kiri]
= A x B x 1 + A' x C x 1 [Tidak disederhanakan DAN dengan true]
= A x B x (1 + C) + A 'x C x ( 1 + B) [Benar ATAU apa pun]
= A x B x 1 + A x B x C + A 'x 1 x C + A' x B x C [Mendistribusikan]
= A x B + A x B x C + A 'x C + A' x B x C [Sederhanakan DAN dengan true]
= A x B + A 'x C + A x B x C + A' x B x C [Susun ulang istilah]
= A x B + A 'x C + (A + A ') x B x C [Factorize]
= A x B + A' x C + 1 x B x C [ATAU negasi benar]
= A x B + A 'x C + B x C [ Sisi kanan]

Bukti berdasarkan kasus:

• Misalkan B x C benar.
  Maka B benar dan C benar secara bersamaan.
  Jadi sisi kanan menjadi A x B + A 'x C + 1 x 1 = 1.
  Sisi kiri menjadi A x 1 + A' x 1, yaitu 1 terlepas dari A.
  Oleh karena itu LHS sama dengan RHS.
• Misalkan B x C salah.
  Kemudian sisi kanan menjadi A x B + A 'x C + 0 = A x B + A' x C, membuatnya identik dengan LHS.
  Karenanya LHS sama dengan RHS.

Dalam semua kasus, LHS sama dengan RHS. Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa kedua formula selalu mengevaluasi ke nilai yang sama.

Referensi:

• https://en.wikipedia.org/wiki/Consensus_theorem
• https://www.nayuki.io/page/boolean-algebra-laws

Pertimbangkan LHS dengan sendirinya:
A x B + A 'x C

Jika B dan C benar dalam pernyataan ini, apakah kondisi A membuat perbedaan pada hasilnya?
Tidak - karena (A x B) atau (A 'x C) akan benar, menghasilkan hasil yang benar.

Jadi sekarang melihat RHS, istilah 2 DAN pertama hanyalah duplikat dari LHS, dan istilah 3 DAN mewakili apa yang baru saja kita ketahui tentang B & C.

$AB + A'C + BC = AB + A'C + (A+A')BC \textrm{ -- Multiply BC term by 1}\\ = AB + A'C + ABC + A'BC \textrm{ -- Distribute the term}\\ = (AB + ABC) + (A'C + A'BC) \textrm{ -- regroup} \\ = AB(1+C) + A'C (1 + B) \textrm{ -- factor} \\ = AB + A'C \textrm{ -- Simplify}$

Mari kita lihat peta karnaugh :

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$ .

$A \land B$$A' \land C$$B \land C$