Matriks Transisi: Terpisah -> Waktu Berlanjut

Saya memiliki kode yang sesuai dengan Tauchen (1986) (Python setara dengan ini ), yang menghasilkan pendekatan diskrit dari proses waktu AR (1) diskrit.

Misalnya, jika Anda mengatur ukuran kisi sebagai 3, itu memberi Anda vektor produktivitas

[A_1, A_2, A_3,]

dan matriks probabilitas transisi

A_11, A_12, A_13
A_21, A_22, A_23
A_31, A_32, A_33

Di mana baris i, kolom jmemberi Anda kemungkinan transisi dari ike j, dan memuaskan bahwa jumlah setiap baris kira-kira satu.

Saya bertanya-tanya bagaimana saya bisa mengubah ini menjadi waktu yang setara dengan matriks transisi; seperangkat probabilitas poisson mengendalikan laju aliran antara negara.

Yang saya ingat dalam hal ini adalah bahwa kita bisa mendapatkan perkiraan linier dengan probabilitas poisson menggunakan

$$Prob(i \to j) = \lim_{\Delta\to0} \exp(-\lambda_{ij}\Delta) \approx 1-\lambda_{ij}\Delta$$

Tetapi saya tidak dapat melihat bagaimana hal itu membantu saya mengubah matriks sebelumnya menjadi $\lambda$ s ... Saya menantikan saran apa pun.

Misalkan adalah matriks dari laju transisi Poisson, di mana untuk menunjukkan laju di mana keadaan transisi ke keadaan , dan memberikan nilai di mana negara transisi ke semua negara lain. Setiap baris berjumlah 0.$B$$n\times n$$B_{ij}\geq 0$$i\neq j$$i$$j$$B_{ii}\leq 0$$i$$B$

Kemudian jika menunjukkan distribusi probabilitas pada waktu , dengan definisi kita memiliki ODE Kita tahu seperti apa solusi untuk jenis ODE ini seperti: , di mana adalah matriks eksponensial dari . Jadi, jika kita ingin untuk menghasilkan Markov transisi matriks setelah , kita perlu memiliki .$p(t)$$t$$B$

$$\dot{p}(t) = Bp(t)$$ $p(t)=e^{Bt}p(0)$$e^{Bt}$$Bt$$B$$A$$t=1$$e^B=A$

Pada prinsipnya, untuk mendapatkan , kita perlu untuk membalikkan eksponensial matriks, mengambil logaritma matriks dari . Masalahnya adalah bahwa setiap matriks memiliki banyak logaritma matriks - logaritma dalam ruang kompleks satu dimensi memiliki banyak cabang, dan ini diperparah ketika kita berbicara tentang matriks dalam ruang dimensi. Sebagian besar logaritma ini tidak akan memuaskan matriks transisi Poisson: mungkin mereka tidak akan nyata, atau entri tidak akan memiliki tanda-tanda yang tepat. Namun ada kemungkinan bahwa lebih dari satu dari mereka akan menjadi: dalam beberapa kasus ada lebih dari satu Poisson sesuai dengan Markov , seperti dalam beberapa kasus tidak ada Poisson$B$$A$$n$$B$$A$$B$sesuai dengan . Berantakan.$A$

Untungnya, ada situasi di mana kehidupan relatif sederhana, dan hampir pasti termasuk kasus Anda sendiri: ketika semua nilai eigen dari adalah positif, real berbeda$A$ . Dalam kasus ini, hanya ada satu logaritma dari yang akan menjadi nyata, dan mudah untuk menghitung: Anda hanya mendiagonalisasi matriks sebagai dan mengambil logaritma nyata dari nilai-nilai eigen, mendapatkan , di mana . Memang, Anda tidak perlu melakukan ini sendiri: jika Anda menggunakan perintah di Matlab (mungkin juga Python), itu akan memberi Anda ini secara tepat .$A$$A=V\Sigma V^{-1}$$B=V\Omega V^{-1}$$\omega_{ii} = \log(\sigma_{ii})$$\text{logm}(A)$$B$

Mengingat ini , yang harus Anda lakukan adalah memverifikasi bahwa itu sebenarnya adalah matriks Poisson. Persyaratan pertama, bahwa semua baris berjumlah nol, dipenuhi secara otomatis karena konstruksi ** Persyaratan kedua, bahwa elemen diagonal negatif dan elemen off-diagonal positif, tidak selalu berlaku (saya pikir ), tetapi mudah bagi Anda untuk memeriksa.$B$$B$

Untuk melihat ini dalam tindakan, saya akan mempertimbangkan untuk proses Markov 3-negara yang menyerupai AR diskritisasi (1). Sekarang, jika saya ketik ke Matlab, saya dapatkan Ini memang merupakan matriks transisi Poisson yang valid, karena kita dapat dengan mudah memeriksa bahwa jumlah baris menjadi nol dan memiliki tanda yang benar - jadi ini adalah jawaban kami.$A$

$$A = \begin{pmatrix}0.5 & 0.4 & 0.1 \\ 0.2 & 0.6 & 0.2 \\ 0.1 & 0.4 & 0.5\end{pmatrix}$$ $B=\text{logm}(A)$ $$B = \begin{pmatrix}-0.86 & 0.80 & 0.06 \\ 0.40 & -0.80 & 0.40 \\ 0.06 & 0.80 & -0.86\end{pmatrix}$$

Kasus dengan nilai eigen positif cukup penting, karena mencakup semua kasus di mana tidak ada semacam perilaku berosilasi dalam rantai Markov (yang akan membutuhkan nilai eigen negatif atau kompleks), mungkin termasuk AR yang Anda diskritkan (1).

Secara umum, perintah pada Matlab akan memberi kita logaritma matriks utama , analog dari logaritma skalar utama yang membuat semua nilai eigen memiliki bagian imajiner antara dan . Masalahnya adalah bahwa hal ini tidak selalu logaritma yang kita inginkan, dan dengan melihat itu kita mungkin kehilangan Poisson yang tidak menghasilkan . (Itulah sebabnya kasus nilai eigen positif, di mana kami tidak perlu khawatir tentang hal ini, sangat baik.) Namun, bahkan dalam kasus-kasus lain ini, tidak ada salahnya untuk mencoba dan melihat apakah itu berfungsi.$\text{logm}$$-\pi$$\pi$$B$$A$

By the way, masalah ini melihat apakah ada yang menghasilkan beberapa matriks Markov telah dipelajari secara luas. Ini disebut masalah embeddability : lihat beberapa ikhtisar dan referensi dalam artikel survei yang sangat baik ini oleh Davies . Saya bukan ahli dalam aspek teknis masalah; jawaban ini lebih didasarkan pada pengalaman dan intuisi peretasan saya sendiri.$B$$A$

Saya merasa berkewajiban untuk menutup dengan menambahkan komentar ecksc dan mengatakan bahwa mungkin ada cara yang lebih baik, lebih langsung untuk mengubah AR yang dipasang secara terpisah (1) menjadi proses waktu terus-menerus keadaan-terbatas - daripada hanya mengambil matriks yang diperoleh melalui metode Tauchen dan membuatnya terus menerus. Tapi saya pribadi tidak tahu apa itu cara yang lebih baik!

---

** Penjelasan (walaupun saya berkarat): memiliki nilai eigen Perron-Frobenius unik sebesar 1, dan karena adalah stokastik vektor eigen kanan dari nilai eigen ini adalah vektor satuan . Ini masih vektor eigen yang tepat, sekarang dengan nilai eigen 0, ketika kita mengambil matriks logaritma.$A$$A$$e$

Tidak dapat berkomentar, atau saya akan meminta lebih spesifik terlebih dahulu. Jika Anda mencoba mengonversi proses AR (1) yang dipasang pada deret waktu diskrit ke proses waktu kontinu, saya menemukan sumber yang relevan di sini di halaman 4.

Perhitungan disediakan untuk memperkirakan koefisien proses CAR (2) dari proses AR (2), tetapi tentu saja Anda dapat mengganti 0 untuk koefisien kedua untuk mendapatkan konversi Anda.

Jika Anda mencoba untuk mengubah waktu Markov Chain diskrit ke waktu terus menerus, itu akan menjadi lebih rumit dan saya harus melakukan beberapa bacaan lagi sebelum saya dapat memberikan lebih banyak bantuan. :) Sementara itu, berikut adalah beberapa bahan bacaan yang baik yang saya temukan mengenai waktu terus-menerus Markov Chains.