Algoritma perkiraan waktu super-polinomial untuk MAX 3SAT

Negara-negara PCP teorema bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial untuk MAX 3SAT untuk menemukan tugas memuaskan klausul formula 3SAT satisfiable kecuali P = N P .$7/8+ \epsilon$$P = NP$

Ada sepele polinomial waktu algoritma yang memenuhi dari klausa. Jadi, bisa kita lakukan lebih baik dari 7 / 8 + ε jika kita membiarkan algoritma super-polinomial? Rasio aproksimasi apa yang dapat kita capai dengan algoritma kuasi-polinomial waktu ( n O ( log n ) ) atau dengan algoritma waktu sub-eksponensial ( 2 o ( n ) )? Saya mencari referensi untuk algoritma seperti itu.$7/8$$7/8+ \epsilon$$n^{O(\log n)}$$2^{o(n)}$

Satu bisa mendapatkan pendekatan untuk MAX3SAT yang berjalan di 2 O ( ε n ) waktu tanpa terlalu banyak kesulitan. Inilah idenya. Bagilah himpunan variabel menjadi O ( 1 / ε ) kelompok masing-masing variabel ε n . Untuk setiap grup, coba semua 2 ε n cara untuk menetapkan variabel dalam grup. Untuk setiap rumus berkurang, jalankan Karloff dan Zwick 7 / 8 -approximation. Keluarkan penugasan memuaskan sejumlah klausa maksimum, dari semua uji coba ini.$7/8+\varepsilon/8$$2^{O(\varepsilon n)}$$O(1/\varepsilon)$$\varepsilon n$$2^{\varepsilon n}$$7/8$

Intinya adalah bahwa ada beberapa blok variabel sehingga penugasan optimal (dibatasi untuk blok itu) sudah memenuhi -fraksi dari jumlah maksimum klausa puas. Anda akan mendapatkan orang-klausul tambahan tepat benar, dan Anda akan mendapatkan 7 / 8 dari fraksi sisa optimal menggunakan Karloff dan Zwick.$\varepsilon$$7/8$

Ini adalah pertanyaan yang menarik jika seseorang bisa mendapatkan waktu untuk jenis pendekatan yang sama. Ada "Dugaan Linear PCP" yang 3SAT dapat dikurangi dalam waktu polinomial menjadi MAX3SAT, sehingga:$2^{O(\varepsilon^2 n)}$

• jika instance 3SAT memuaskan maka instance MAX3SAT benar-benar memuaskan,
• jika contoh 3SAT adalah unsatisfiable maka contoh MAX3SAT tidak satisfiable, dan$7/8+\varepsilon$
• reduksi meningkatkan ukuran formula hanya dengan faktor .$poly(1/\varepsilon)$

Dengan asumsi ini Linear PCP Dugaan, seorang -waktu 7 / 8 + ε pendekatan, untuk semua c dan ε , akan memerlukan bahwa 3SAT dalam 2 ε n waktu, untuk semua ε . (Di sini m adalah jumlah klausa.) Buktinya menggunakan Lemma Sparsifikasi dari Impagliazzo, Paturi, dan Zane.$2^{O(\varepsilon^c m)}$$7/8+\varepsilon$$c$$\varepsilon$$2^{\varepsilon n}$$\varepsilon$$m$

Untuk sedikit menyatakan kembali apa yang ditulis Ryan Williams dalam paragraf terakhirnya:

The Moshkovitz-Raz teorema menunjukkan bahwa ada fungsi sehingga jika Max-3SAT dapat ( 7 / 8 + 1 / ( log log n ) 0,000001 ) -approximated di waktu T ( n ) maka versi keputusan 3Sat berada pada waktu 2 o ( n $T(n) = 2^{n^{1-o(1)}}$$(7/8 + 1/(\log \log n)^{.000001})$$T(n)$$2^{o(n)}$. Secara umum diyakini bahwa yang terakhir itu tidak mungkin (ini adalah Hipotesis Eksponensial Waktu), dalam hal ini yang pertama tidak mungkin juga. Untuk meletakkannya tidak cukup akurat, Anda tidak bisa mengalahkan untuk Max-3SAT di sesuatu yang lebih baik daripada waktu eksponensial penuh.$7/8$