Ketidaksepakatan set penutup: dapatkah saya berasumsi m = poli (n)?

9

Saya mencoba menunjukkan bahwa masalah tertentu tidak dapat diperkirakan dengan pengurangan dari set penutup. Reduksi saya mengubah sebuah instance dengan ground set ukuran dan menjadi instance dari masalah saya di mana parameter tertentu berukuran . Saya kemudian dapat menunjukkan bahwa contoh set penutup di mana ukuran penutup s sesuai dengan contoh masalah saya di mana ukuran solusi optimal adalah (atau sesuatu seperti ini), dan sebaliknya. Saya ingin meminta Raz-Safra untuk menyimpulkan bahwa masalah saya tidak dapat diperkirakan hingga faktor , untuk beberapa konstanta . Ini akan bekerja dengan baik jika saya dapat berasumsi bahwanmrO(n+m)2sclog⁡rcmdibatasi oleh polinom tetap dari . Adakah yang tahu jika menganggap hal ini halal? Ini tentu benar untuk keluarga contoh yang digunakan dalam bukti kekerasan NP standar untuk penutup yang ditetapkan, tetapi saya tidak yakin apakah ini tetap menjadi kasus untuk jenis pengurangan PCP yang digunakan oleh Raz dan Safra.n

cc.complexity-theory approximation-hardness set-cover Edith Elkind
sumber

Jawaban:

17

Ya, jumlah set m dalam contoh set-cover adalah polinomial dalam jumlah elemen.

By the way - hasil kekerasan tingkat tinggi untuk Set-Cover adalah:

  • Dengan Noga Alon dan Muli Safra, kami menunjukkan bagaimana menggunakan PCP Raz-Safra / Arora-Sudan untuk mendapatkan konstanta lebih baik dalam faktor kekerasan .cclog⁡n

    http://people.csail.mit.edu/dmoshkov/papers/k-restrictions/k-rest-full.ps

  • Feige menunjukkan cara mendapatkan faktor kekerasan optimal , dengan asumsi .(1−ϵ)ln⁡nNP⊈DTIME(nlog⁡log⁡n)

    http://www.cs.duke.edu/courses/spring07/cps296.2/papers/p634-feige.pdf

  • Baru-baru ini saya menerbitkan catatan tentang bagaimana menyesuaikan pengurangan Feige ke hasil kekerasan-NP (yaitu, hasil berdasarkan ), dengan asumsi dugaan yang masuk akal tentang PCP (Sebuah dugaan yang saya sebut "Proyeksi Game Proyeksi" - spesialisasi tahun 1993 "Konjektur Skala Geser" ke game proyeksi).P≠NP

    http://eccc.hpi-web.de/report/2011/112/ (Saya kemudian menemukan bahwa pengurangan memberikan tradeoff yang optimal antara dan pengurangan pengurangan).ϵ

Dana Moshkovitz
sumber
Apa asumsi pemisahan terlemah yang masih akan menghasilkan kekerasan ? (1−ϵ)log⁡n
Suresh Venkat
Dana, terima kasih atas jawaban Anda! Pertanyaan tindak lanjut, jika Anda tidak keberatan: apakah ini pertanyaan "bodoh", yaitu, apakah ada pertimbangan tingkat tinggi yang menyiratkan m = poli (n), atau apakah itu kasus bahwa seseorang benar-benar harus mengetahui Bukti kekerasan Raz-Safra untuk menjawab pertanyaan saya?
Edith Elkind
1
@ Suresh: Saya berasumsi maksudmu . Asumsi Feige ( ) dan asumsi saya ("The Projection Games Conjecture") tidak dapat dibandingkan. Saya percaya bahwa asumsi saya akan terbukti di masa mendatang. (1−ϵ)ln⁡nNP⊈DTIME(nlog⁡log⁡n)
Dana Moshkovitz
@ lostinjungle: Jika m bukan polinomial dalam n, Anda tidak dapat menganggap pengurangan sebagai "pengurangan waktu-poli". Alasan khusus bahwa PCP Raz-Safra / Arora-Sudan menghasilkan m = poli (n) adalah bahwa ada satu set per variabel / batasan + tugas PCP dan tugasnya, dan jumlah variabel dan kendala, serta ukuran alfabet adalah polinomial, dan jumlah kueri konstan.
Dana Moshkovitz
1
@DanaMoshkovitz: Terima kasih! Saya tidak yakin saya mengerti klaim pertama Anda. Apa yang salah dengan reduksi (hipotetis) berikut: Saya mulai dengan instance (katakanlah) Vertex Cover dengan simpul dan membuat instance Set Cover dengan set dan ground set ukuran , di mana adalah solusinya ke ? Ini pasti berfungsi di waktu-poli. Memang, saya belum pernah melihat pengurangan seperti ini, tetapi tampaknya tidak masuk akal secara logis. Atau saya salah? Tentu saja, pertanyaan awal saya sudah dijawab, jadi silakan abaikan yang ini. Saya hanya ingin tahu ...km=k3nnnlog⁡n=m
Edith Elkind