Bilangan alami yang tidak dapat dibandingkan

"Nama permainan angka terbesar" meminta dua pemain untuk menuliskan angka secara diam-diam, dan pemenangnya adalah orang yang menuliskan angka yang lebih besar. Gim ini biasanya memungkinkan pemain untuk menuliskan fungsi yang dievaluasi pada suatu titik, jadi $2^{2^{2^{2}}}$ juga akan menjadi hal yang dapat diterima untuk dituliskan.

Nilai fungsi Beaver Sibuk, $BB(x)$ , tidak dapat ditentukan (dalam ZFC, atau sistem aksiomatik konsisten yang masuk akal) untuk nilai $x$ . Secara khusus, $BB(10^4)$ tidak dapat ditentukan sesuai dengan makalah ini . Namun, ini tidak berarti bahwa kami tidak dapat membandingkan nilai fungsi Beaver Sibuk. Sebagai contoh, kita dapat membuktikan bahwa $BB(x)$ benar-benar monoton .

Mari kita mengira bahwa kita mengizinkan pemain untuk menuliskan ekspresi yang melibatkan komposisi fungsi dasar, bilangan alami, dan fungsi Sibuk Berang-berang. Adakah dua ekspresi yang bisa dituliskan oleh kedua pemain sehingga kita dapat membuktikan di ZFC bahwa menentukan pemenang di ZFC adalah tidak mungkin (dengan anggapan ZFC konsisten)?

EDIT: Awalnya pertanyaan ini mengatakan "... kombinasi sewenang-wenang dari fungsi yang dapat dihitung, bilangan alami, dan fungsi Sibuk Berang-berang."

Jika kita membiarkan $f(x)$ mengambil nilai $3$ jika $BB(x) >$ [sesuatu yang besar dan tidak dapat diekspresikan di situs web ini] dan $7$ jika tidak, maka $f(10^4)$ dan $6$ tidak dapat dibandingkan.

Ini tidak memuaskan saya, terutama karena $f$ bukan fungsi yang masuk akal bagi seseorang untuk digunakan dalam permainan ini. Saya tidak melihat bagaimana cara mengungkapkan intuisi saya tentang hal ini, jadi saya membatasi pertanyaan untuk menghindari fungsi piecewise.

$B$$\Phi$$\iff$ $\Phi$$B$$\neg$$\iff$ $\Phi$

$\Phi$$B(m_i)=n_i$$1\le i\le k$

$m_i$$n_i$