Bayangkan kita memiliki dua set ukuran dari titik . Apa kerumitan (waktu) pengujian jika perbedaannya hanya berdasarkan rotasi? : ada matriks rotasi sedemikian rupa sehingga ?
Ada masalah yang mewakili nilai-nilai nyata di sini - untuk kesederhanaan anggap bahwa ada (pendek) rumus aljabar untuk setiap koordinat, sehingga biaya operasi aritmatika dasar dapat diasumsikan sebagai O (1).
Pertanyaan dasarnya adalah apakah masalah ini ada di P?
Sementara pada pandangan pertama masalah ini mungkin tampak sederhana - biasanya cukup untuk menguji norma-norma titik dan hubungan lokal seperti sudut, ada contoh buruk di mana itu misalnya setara dengan masalah grafik isomorfisme .
Secara khusus, melihat eigenspaces dari matriks adjacency dari grafik sangat teratur (SRG), kita dapat memberikan interpretasi geometris . Di bawah ini adalah contoh paling sederhana - dua SRG titik 16, yang secara lokal terlihat identik, tetapi tidak isomorfik:
Matriks adjacency dari SRG selalu hanya memiliki tiga nilai eigen (dari rumus yang diketahui) - melihat eigenspace untuk nilai eigen 2 di atas (kernel ), ia memiliki dimensi 6 - dasar yang ditulis di atas. Orthonormalizing itu (Gram-Schmidt), kita mendapatkan ruang besar kemungkinan basis ortonormal - berbeda dengan O ( 6 ) rotasi, yang berputar "vektor vertikal": 16 panjang 6. Tentukan set seperti vektor seperti X ⊂ R 6 , | X | = 16 di sini, dan Y sesuai untuk grafik kedua - mengubah pertanyaan grafik isomorfisme menjadi pertanyaan jika X dan berbeda hanya dengan rotasi.
Kesulitannya adalah bahwa semua titik-titik ini berada dalam bola dan menciptakan kembali hubungan asli: semua tetangga (6 di sini) berada dalam sudut tetap <90 derajat, semua non-tetangga (9 di sini) di sudut tetap lain> 90 derajat, seperti dalam skema gambar di atas.
Jadi pengujian berdasarkan norma dan sudut lokal membutuhkan kembali ke grafik masalah isomorfisme ... tetapi interpretasi geometris memungkinkan untuk bekerja pada properti global seperti invarian rotasi.
Kita biasanya dapat mendefinisikan invarian rotasi - pertanyaannya adalah membangun seperangkat invaraints rotasi lengkap: sepenuhnya menentukan rotasi set modulo.
setiap grafik di bawah ini sesuai dengan invarian rotasi tunggal dengan derajat 1,2,3,4 polinomial :
Jadi dapatkah kita menguji apakah polinomial dua derajat 6 hanya berbeda dengan rotasi dalam waktu polinomial? Jika demikian, isomorfisme grafik untuk SRG ada dalam P.
Apakah ada contoh yang lebih sulit (untuk pengujian jika dua set hanya berbeda oleh rotasi) daripada dari SRG? Saya ragu, memungkinkan untuk batas atas kuasi polinomial berkat Babai (?)
Pembaruan : Saya menunjukkan kesamaan dengan masalah Procrust orthogonal (diselesaikan) :
dari dekomposisi nilai singular. Kita dapat membangun matriks ini dari poin kita, namun, itu perlu mengetahui urutan - yang kita tidak tahu dan adakemungkinan.
Kita dapat mencoba misalnya Monte-Carlo atau algoritma genetika: mengganti beberapa titik dan menguji peningkatan jarak menggunakan rumus di atas, namun, saya menduga bahwa algoritma heuristik seperti itu mungkin memiliki jumlah eksponensial minimum lokal (?)
sumber
Jawaban:
Saya pikir ini terbuka. Perhatikan bahwa jika alih-alih menguji ekuivalensi di bawah rotasi Anda meminta ekuivalensi di bawah grup linear umum, maka yang sudah menguji ekuivalensi derajat tiga polinomial adalah GI-hard ( Agrawal-Saxena STACS '06 , versi penulis tersedia secara bebas ), dan pada kenyataannya berada pada Setidaknya sekeras menguji isomorfisma aljabar. Sekarang, kekerasan-GI bukanlah bukti bahwa masalah Anda tidak ada di , karena memang, seluruh pertanyaan Anda pada dasarnya adalah apakah kita dapat memasukkan GI ke dalamP P dengan pendekatan yang Anda sarankan. Namun, fakta bahwa persamaan bentuk kubik sudah tampak jauh lebih sulit daripada GI (misalnya kita masih tidak tahu apakah aljabar isomorfisma berada dalam waktu kuasi-poli, tidak seperti GI) menunjukkan bahwa (a) orang telah memikirkan pendekatan ini dan (b) masih terbuka.
Walaupun saya tidak tahu pasti apakah hasil yang sama berlaku untuk kelompok ortogonal, saya akan terkejut jika mereka tidak tahan (khususnya jika Anda pindah dari tingkat 3 ke tingkat 6).
sumber