Sebuah berjalan algoritma waktu untuk isomorfisma grup abelian mudah untuk melihat. Kemudian mengerjakan masalah ini pada tahun 2003, Vikas meningkatkan hasil dari waktu berjalan ke . Pada tahun 2007, Kavitha menunjukkan bahwa isomorfisma kelompok abelian dapat dilakukan dalam waktu linier yaitu waktu .O ( n log n )
Saya tahu bahwa isomorfisma kelompok abelian ketika kelompok diberikan oleh representasi tabel ada di . Apakah ada makalah penelitian atau artikel yang menunjukkan bahwa itu ada di ? Saya mencoba google tetapi hanya mendapatkan hasilnya di . A C 0 T C 0
Pertanyaan: Apakah abelian group isomorphism (kelompok yang diberikan dalam representasi tabel) dalam
Jawaban:
Bertentangan dengan apa yang dinyatakan dalam pertanyaan, isomorfisme kelompok abelian tidak diketahui berada di . Tidak perlu dikatakan, ini juga berarti tidak diketahui berada di . A C 0TC0 AC0
Apa yang diketahui adalah pengamatan berikut dari [1]. Biarkan menunjukkan masalah berikut: diberi tabel perkalian grup abelian , elemen , dan di unary, tentukan apakah . Teorema struktur untuk grup abelian terbatas dengan mudah menyiratkan bahwa jika adalah dua kelompok ukuran , maka ( A , ⋅ ) a , b ∈ A m b = a m A , B npow (A,⋅) a,b∈A m b=am A,B n
Karena kita dapat menghitung set ukuran polinomial dalam , kita memperolehTC0
Sekarang, jelas dapat dihitung dalam L, dan seperti yang ditunjukkan pada [2], juga di kelas FOLL. Jadi,pow
Tidak diketahui apakah dapat dihitung dalam .pow TC0
Tampaknya Corollary 2 adalah hasil yang paling dikenal ketika datang ke kelas sirkuit "polinomial-size" yang biasa. Namun, saya mengamati bahwa masalahnya ada di versi quasipolynomial dari :AC0
(Ini diterjemahkan ke dalam keluarga seragam dari kedalaman-3 sirkuit ukuran , di mana disjunctions bawah memiliki fan-in hanya ; ini sering disebut "kedalaman ".) O ( ( log n ) 2 ) 2 12O((logn)2) O((logn)2) 212
Proposisi 3 sekali lagi merupakan konsekuensi dari teorema struktur untuk grup abelian terbatas: setiap grup tersebut dapat ditulis sebagai jumlah langsung dari subkelompok siklik , sehingga grup dan adalah isomorfik jika mereka dapat ditulis sebagai jumlah langsung subkelompok siklik dengan pesanan yang cocok: yaitu, jika , maka iffA B | A | = | B | = n A ≃ BO(logn) A B |A|=|B|=n A≃B
Dua bilangan utama disorot. Untuk melihat bahwa batas yang disebutkan tidak terlampaui, kita perlu menunjukkan bahwa identitas dapat diperiksa di . Ini dapat dilakukan dengan menebak secara berturut-turut dan memverifikasi nilai dari produk parsial untuk ; selain itu, untuk setiap , kami juga menebak dan memverifikasi hasil sebagian dari perhitungan dengan kuadrat berulang. Secara total, ini membuat menebak, masing-masing mengambil∏i<karii=1 NTIME((logn)2) ∏i<larii l=0,…,k i O(logri) arii O ( log n )O(∑ilogri)⊆O(∑ilogmi)⊆O(logn) O(logn) waktu untuk memverifikasi.
Ada cara lain untuk membuktikan Proposisi 3: yaitu, perhatikan bahwa dalam , kita hanya perlu mempertimbangkan yang merupakan kekuatan utama: . Dalam hal itu, dua set pelanggaran yang perlu kita hitung juga memiliki ukuran yang merupakan kekuatan ; khususnya, jika mereka tidak sama, mereka berbeda dengan faktor setidaknya . Dengan demikian, cukup untuk menghitung ukuran dua set kira-kira . Ini dapat dilakukan dalam quasipolynomial menggunakan lemma coding Sipser. Dan seperti yang telah saya tunjukkan, dapat dihitung dalam quasipolynomial dengan kuadrat berulang.M m = p e p p A C 0 p o w A C 0(∗) m m=pe p p AC0 pow AC0
Salah satu konsekuensi dari Proposisi 3 adalah bahwa jika masalah isomorfisma abelian ternyata tidak ada dalam , ini mungkin agak sulit untuk dibuktikan: khususnya, seseorang tidak dapat hanya mengurangi PARITY atau MAJORITY ke masalah, karena ini membutuhkan sirkuit dengan kedalaman terbatas ukuran-eksponensial , bukan quasipolynomial. Sekalipun kita berusaha mengurangi PARITY pada bit-bit ke masalah, tidak ada banyak ruang untuk parameter: secara khusus, PARITY dari super-polylogarithmically banyak bit tidak dapat dihitung oleh sirkuit-konstanta kedalaman-ukuran quasipolynomial, dan PARITY of Secara polilogaritma banyak bit sudah dapat dihitung dalam dengan membagi dan menaklukkan. m ≪ n A C 0AC0 m≪n AC0
Referensi:
[1] Arkadev Chattopadhyay, Jacobo Torán, Fabian Wagner: Grafik isomorfisma bukan -dapat diturunkan ke grup isomorfismaAC0 , Transaksi ACM tentang Teori Komputasi 5 (2013), no. 4, artikel no. 13, doi: 10.1145 / 2540088 .
[2] David Mix Barrington, Peter Kadau, Klaus-Jörn Lange, Pierre McKenzie: Tentang kerumitan beberapa masalah pada input kelompok sebagai tabel perkalian , Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem 63 (2001), no. 2, hlm. 186–200, doi: 10.1006 / jcss.2001.1764 .
sumber