Saya sedang mempertimbangkan bahasa dari semua formula logika proposisional yang memuaskan, SAT (untuk memastikan bahwa ini memiliki alfabet terbatas, kami akan menyandikan huruf proposisional dengan cara yang sesuai [edit: balasan menunjukkan bahwa jawaban untuk pertanyaan mungkin tidak kuat di bawah beragam pengkodean, jadi seseorang harus lebih spesifik - lihat kesimpulan saya di bawah ini] ). Pertanyaan sederhana saya adalah
Apakah SAT bahasa bebas konteks?
Dugaan pertama saya adalah bahwa jawaban hari ini (awal 2017) haruslah "Tidak ada yang tahu, karena ini berkaitan dengan pertanyaan yang belum terselesaikan dalam teori kompleksitas." Namun, ini tidak benar (lihat jawaban di bawah), meskipun tidak sepenuhnya salah juga. Berikut ini ringkasan singkat dari hal-hal yang kita ketahui (dimulai dengan beberapa hal yang jelas)
- SAT tidak teratur (karena bahkan sintaksis logika proposisional tidak teratur, karena tanda kurung yang cocok)
- SAT sensitif terhadap konteks (tidak sulit untuk memberikan LBA untuk itu)
- SAT adalah NP-complete (Cook / Levin), dan khususnya diputuskan oleh TM non-deterministik dalam waktu polinomial.
- SAT juga dapat dikenali oleh automata stack nondeterministic satu arah (1-NSA) (lihat WC Rounds, Kompleksitas pengakuan dalam bahasa tingkat menengah , Switching and Automata Theory, 1973, 145-158 http://dx.doi.org/ 10.1109 / SWAT.1973.5 )
- Masalah kata untuk bahasa bebas konteks memiliki kelas kompleksitasnya sendiri (lihat https://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:C#cfl )
- , di mana LOGCFL adalah kelas masalah logspace yang dapat direduksi menjadi CFL (lihathttps://complexityzoo.uwaterloo.ca/Complexity_Zoo:L#logcfl). Diketahui bahwa NL ⊆ LOGCFL .
Namun, poin terakhir ini masih menyisakan kemungkinan bahwa SAT diketahui tidak ada di . Secara umum, saya tidak dapat menemukan banyak tentang hubungan dengan hirarki yang mungkin membantu untuk memperjelas status epistemik pertanyaan saya.
Komentar (setelah melihat beberapa jawaban awal): Saya tidak mengharapkan rumus dalam bentuk normal konjungtif (ini tidak akan membuat perbedaan pada esensi jawaban, dan biasanya argumen masih berlaku karena CNF juga merupakan rumus. Tetapi klaim bahwa versi konstan dari jumlah variabel dari masalah adalah gagal biasa, karena kita membutuhkan tanda kurung untuk sintaks.).
Kesimpulan: Bertentangan dengan dugaan saya yang terinspirasi oleh teori kompleksitas, seseorang dapat menunjukkan secara langsung bahwa SAT tidak bebas konteks. Karena itu situasinya adalah:
- Hal ini diketahui bahwa SAT adalah tidak bebas konteks (dengan kata lain: SAT tidak dalam ), dengan asumsi bahwa satu menggunakan "langsung" encoding formula di mana variabel proposisional diidentifikasi oleh bilangan biner (dan beberapa simbol lebih lanjut digunakan untuk operator dan pemisah).
- Tidak diketahui apakah SAT ada di , tetapi "sebagian besar pakar berpikir" itu tidak, karena ini akan menyiratkan . Ini juga berarti bahwa tidak diketahui apakah penyandian SAT "masuk akal" lainnya bebas konteks (dengan asumsi bahwa kami akan mempertimbangkan ruang log sebagai upaya penyandian yang dapat diterima untuk masalah NP-hard).
Perhatikan bahwa kedua poin ini tidak menyiratkan . Ini dapat ditunjukkan secara langsung dengan menunjukkan bahwa ada bahasa dalam (maka dalam ) yang tidak bebas konteks (misalnya, ).
Jawaban:
Hanya bukti alternatif menggunakan campuran hasil yang terkenal.
Seandainya:
Misalnya ditulis sebagai: ( operator memiliki prioritas lebih dari ) .φ=(x1∨x2)∧−x3 sφ=+1∨+10∧−11∈S ∨ ∧
Misalkan formula yang sesuai memuaskan adalah CF.L={sφ∈S∣ φ }
Jika kita memotongnya dengan bahasa reguler: kita masih mendapatkan bahasa CF. Kita juga dapat menerapkan homomorfisme: , dan bahasanya tetap CF.R={+1a∧−1b∧−1c∣a,b,c>0} h(+)=ϵ h(−)=ϵ
Tetapi bahasa yang kita peroleh adalah: , karena jika maka rumus "sumber" adalah yang tidak memuaskan (sama jika ). Tapi adalah sebuah kontradiksi non-bahasa non CF yang terkenal .L′={1a∧1b∧1c∣a≠b,a≠c} a=b +xa∧−xa∧−xb a=c L′ ⇒
sumber
Jika jumlah variabel terbatas, maka jumlah konjungsi yang memuaskan, jadi bahasa SAT Anda terbatas (dan karenanya teratur). [Sunting: klaim ini mengasumsikan formulir CNFSAT.]
Kalau tidak, mari kita sepakat untuk menyandikan rumus seperti oleh . Kami akan menggunakan lemma Ogden untuk membuktikan bahwa bahasa semua konjungsi yang memuaskan tidak bebas konteks.(x17∨¬x21)∧(x1∨x2∨x3) (17+~21)(1+2+3)
Misalkan adalah konstanta "penandaan" dalam lemma Ogden, dan pertimbangkan rumus sat dengan klausa pertama terdiri dari - yaitu, pengkodean , di mana adalah angka desimal yang terdiri dari yang Kami menandai yang dan kemudian mengharuskan semua pemompaan dekomposisi sesuai (lihat kesimpulan dari lemma Ogden) juga memuaskan. Tetapi kita dapat dengan mudah memblokir ini dengan mensyaratkan bahwa tidak ada klausa yang mengandung , di mana adalah urutan lebih pendek darip w (1p) (xN) N p p 1p w xq q 1 p , menjadi memuaskan - misalnya, dengan memastikan bahwa setiap klausa lain dari memiliki negasi dari setiap . Ini berarti bahwa gagal properti "pemompaan negatif" dan kami menyimpulkan bahwa bahasa tersebut tidak bebas konteks. [Catatan: Saya telah mengabaikan kasus sepele di mana pemompaan menghasilkan string yang buruk.]w xq w
sumber