Mengapa penting untuk membuktikan bahwa suatu masalah adalah NP-complete?

Apakah saya benar dalam memahami bahwa membuktikan suatu NP lengkap adalah kesuksesan penelitian? Jika demikian mengapa?

Ali, pertanyaan bagus.

Misalkan Anda ingin menunjukkan bahwa beberapa masalah P sulit secara komputasi. Sekarang, Anda dapat menduga bahwa P sulit hanya berdasarkan pada fakta bahwa kami belum memiliki algoritma yang efisien untuk itu. Tapi ini bukti yang agak lemah, bukan? Bisa jadi kita telah melewatkan beberapa cara yang bagus untuk melihat P yang akan membuatnya sangat mudah untuk diselesaikan. Jadi, untuk menduga bahwa P itu sulit, kami ingin mengumpulkan lebih banyak bukti. Pengurangan menyediakan alat untuk melakukan hal itu! Jika kita dapat mengurangi beberapa masalah alam lainnya Q ke P, maka kita telah menunjukkan P setidaknya sekeras Q. Tapi Q bisa menjadi masalah dari beberapa bidang matematika yang sama sekali berbeda, dan orang mungkin telah berjuang selama beberapa dekade untuk menyelesaikan Q juga . Jadi, kita dapat melihat kegagalan kita untuk menemukan algoritma yang efisien untuk Q sebagai bukti bahwa P itu sulit. Jika kita punya banyak Q '

Inilah yang diberikan oleh teori kelengkapan NP. Jika Anda membuktikan masalah Anda sebagai NP-lengkap, maka Anda telah mengikat kekerasannya dengan kekerasan ratusan masalah lainnya, masing-masing memiliki minat yang signifikan pada berbagai komunitas. Dengan demikian, secara moral, Anda dapat yakin bahwa masalah Anda memang sulit.

Membuktikan masalah NP-Complete adalah keberhasilan penelitian karena membebaskan Anda dari keharusan mencari solusi yang efisien dan tepat untuk masalah umum yang Anda pelajari. Ini membuktikan bahwa masalah Anda adalah anggota kelas masalah yang sangat sulit sehingga tidak ada yang bisa menemukan algoritma yang efisien dan tepat untuk semua masalah, dan solusi seperti itu untuk setiap masalah akan menyiratkan solusi untuk semua masalah.

Ini biasanya merupakan batu loncatan, karena masalah Anda masih ada - Anda hanya perlu melonggarkan kebutuhan Anda. Biasanya orang mencoba dan mencari cara untuk bersantai satu atau lebih dari "efisien", "tepat", atau "umum". Inefisien-dan-tepat-dan-umum adalah upaya untuk menemukan konstanta yang lebih baik dan lebih baik dalam eksponen untuk algoritma ini. Efisien-dan-tidak-eksak-dan-umum adalah studi tentang algoritma perkiraan. Efisien-dan-tepat-tetapi-tidak-umum adalah studi tentang traktabilitas parameter tetap dan pencarian untuk subkelas input yang algoritma efisien dapat ditemukan.

$NP-complete$

$NP-complete$, Anda memiliki beberapa bukti untuk dugaan Anda ini dan Anda harus mulai mempertimbangkan pendekatan alternatif (misalnya mengubah masalah sehingga menjadi lebih mudah).

$NP-complete$

$NP-complete$

$P=NP$$3-SAT$

$NP-complete$$CLIQUE$

Meringkas, mengkarakterisasi masalah memungkinkan Anda menggunakan teknik umum. Dengan mempelajari kelas yang terkait dengannya, Anda dapat berpikir dalam tingkat abstrak, tanpa peduli tentang masalah khusus ini, yang umum dalam matematika dan sains pada umumnya. Bekerja dengan kelas alih-alih anggota individu memungkinkan Anda untuk menggunakan teknik yang dikenal dan selanjutnya, menerapkan wawasan Anda ke sejumlah besar objek, bukan hanya satu.

Setiap masalah memiliki beberapa koneksi dengan masalah lain. Selain itu, ada hubungan antara kelas masalah dan kompleksitas.

Oleh karena itu, mengklasifikasikan satu masalah sebagai NPC biasanya memberi kita wawasan tentang masalah lain, serta kelas kompleksitas.

Misalnya, ambil masalah grafik isomorfisme (GI). Dalam makalah berikut:

Uwe Schöning, Grafik isomorfisme berada dalam hierarki yang rendah , Prosiding Simposium Tahunan ke-4 tentang Aspek Teoritis Ilmu Komputer , 1987, 114-124; juga: Jurnal Ilmu Komputer dan Sistem, vol. 37 (1988), 312–323.

terbukti bahwa jika GI ∈ NPC, maka hierarki polinomial (PH) runtuh ke level kedua; yang akan menjadi terobosan besar dalam teori kompleksitas struktural.

$p$$p$$p$$p$