Kelas grafik dengan treewidth superconstant

Ada beberapa kelas grafik yang menarik dengan treewidth terikat. Misalnya, pohon (treewidth 1), seri grafik paralel (treewidth 2), grafik outerplanar (treewidth 2), grafik $k$ -outerplanar (treewidth O (k)), grafik lebar cabang (treewidth O (k)), .. .$k$

Pertanyaan: Apakah ada contoh kelas grafik yang menarik yang treewidth tidak dibatasi oleh konstanta, tetapi oleh fungsi yang tumbuh rendah?

1. Apakah ada kelas grafik terkenal dengan treewidth ?$O(\log\log n)$
2. Apakah ada kelas grafik terkenal dengan treewidth ?$O(\log n)$

Saya juga akan tertarik pada kelas grafik dengan treewidth atau mana logaritma diulang beberapa kali secara konstan.$O(\log^k n)$$O(\log\log...n)$

Obs: Tentu saja mudah untuk memasak keluarga tiruan dari grafik dengan treewidth yang diberikan, seperti keluargakisi-kisi. Jadi saya terutama mencari keluarga grafik yang telah dipelajari di cabang lain teori grafik dan yang kebetulan memiliki treewidth atau , tetapi treewidth tidak konstan.$\;O(\log n)\times n\;$$O(\log n)$$O(\log\log n)$

Saya percaya bahwa grafik universal untuk pohon yang dibangun oleh Chung dan Graham 1983 memiliki treewidth . Atau untuk contoh yang sedikit lebih sederhana tetapi serupa pertimbangkan penutupan transitif pohon biner seimbang.$\Theta(\log n)$

Namun, ada hasil negatif di sini juga. Semua contoh yang Anda berikan dari keluarga grafik yang menarik tertutup minor, atau sangat erat hubungannya dengan keluarga tertutup kecil. Tetapi keluarga grafik minor-tertutup baik berisi semua grafik planar (dan karenanya memiliki treewidth maksimum ) atau memiliki planar minor terlarang (dan karenanya telah mengikat treewidth).$\Theta(\sqrt n)$