Saya sedang membaca makalah Andrej Bauer Langkah Pertama dalam Teori Komputasi Sintetis . Dalam kesimpulan dia mencatat itu
Aksiomasiisasi kami memiliki batas: tidak dapat membuktikan hasil apa pun dalam teori komputabilitas yang gagal dikaitkan dengan perhitungan oracle. Ini karena teori dapat ditafsirkan dalam varian topos efektif yang dibangun dari fungsi rekursif parsial dengan akses ke oracle.
Ini membuat saya bertanya-tanya tentang hasil non-relativizing dalam komputasi. Semua hasil yang saya tahu dari teori komputabilitas melakukan relativize ke komputasi dengan nubuat.
Adakah hasil dalam teori komputabilitas yang tidak terelatifkan? Yaitu hasil yang berlaku untuk komputabilitas tetapi tidak berlaku untuk komputabilitas relatif terhadap beberapa oracle?
Maksud saya adalah teorema yang dikenal dalam teori komputabilitas, bukan pernyataan yang dibuat-buat. Jika gagasan relativization tidak masuk akal untuk hasilnya maka itu bukan apa yang saya cari.
Menarik juga untuk mengetahui apakah hasilnya dapat dinyatakan dalam bahasa Teori Komputasi Sintetis atau tidak.
sumber
Jawaban:
Teorema Penyematan Higman: Grup yang disajikan secara komputabel yang dihasilkan secara tepat adalah subkelompok yang dihasilkan secara finis dari kelompok-kelompok yang disajikan secara halus. Selain itu, setiap grup yang disajikan secara komputabel (bahkan yang dihasilkan secara signifikan) adalah subkelompok dari grup yang disajikan secara halus.
Perhatikan bahwa pernyataan ini dapat direlatifkan ke: " Grup yang ditampilkan secara (dengan beberapa oracle ) adalah subkelompok yang dihasilkan secara halus dari kelompok yang disajikan dengan baik," tetapi tidak, karena orang dapat membuktikan bahwa untuk beberapa tidak dapat dihitung ada Kelompok -computably disajikan yang tidak disajikan secara computably.O O OHAI HAI HAI HAI
Memang, saya pikir setiap hasil non-merelatifkan teori komputabilitas harus memiliki sesuatu rasa ini, karena beberapa bagian dari hasil atau bukti yang harus entah bagaimana "memakukan" computability benar dari computability dengan oracle . Dalam hal ini, keterbatasanlah yang menghasilkan "kemampuan komputasi yang sebenarnya". Perhatikan bahwa, seperti yang diminta oleh Scott Aaronson, hasil ini tidak sesuai dengan model komputasi yang biasa (mesin Turing, RAM, dll.), Tetapi tidak relativize (sekali lagi, karena semua model komputasi "aktual" yang biasa berbagi beberapa "properti finiteness" yang umum).HAI
Di sisi lain, orang mungkin berpendapat bahwa ini "tidak masuk akal" untuk pertanyaan ini, karena lebih mirip dengan definisi komputabilitas menggunakan kelompok daripada itu adalah "hasil dari teori komputabilitas." Di sisi lain, itu adalah definisi dari kemampuan komputasi yang kuat untuk model namun tidak relatif . (Berbeda dengan, katakanlah, karakterisasi Kleene dari fungsi yang dapat dihitung yang dengan mudah relativis, dengan hanya menambahkan fungsi karakteristik oracle Anda ke rangkaian fungsi pembangkit. Tampaknya tidak ada operasi analog untuk grup dalam konteks Higman Embedding.)
sumber
Ini adalah sesuatu yang sering saya tanyakan!
Jika dengan "menghasilkan teori komputabilitas," yang Anda maksud adalah hasil yang tidak berubah sehubungan dengan pilihan model mesin (mesin Turing, mesin RAM, dll.), Maka saya tidak tahu satu contoh pun dari hasil seperti itu, dan saya pasti akan ingat jika aku melihatnya.
Jawaban terdekat yang dapat saya sarankan untuk sebuah jawaban adalah: Saya pikir ada banyak pertanyaan menarik dalam teori komputabilitas yang mungkin bergantung pada model mesin. Sebagai contoh: apakah fungsi Sibuk Berang-berang, dengan definisi yang biasa dalam hal mesin Turing, sering kali aneh? Apakah nilai BB (20) tidak tergantung pada ZFC? Apa pun jawaban untuk pertanyaan-pertanyaan ini, mereka pasti bisa berbeda untuk analog yang relatif dari fungsi BB.
sumber
Berikut ini contoh yang kurang lebih sepele: Pertimbangkan masalah penghentian untuk mesin Turing yang secara khusus dilarang (dengan definisi model komputasi) mengakses oracle. Ini relatif tidak dapat diputus baik untuk oracle dan oracle sepele, namun itu relatif relatif terhadap oracle untuk masalah penghentian. (Masalah itu sendiri tidak berubah relatif terhadap oracle karena tidak dapat mengakses oracle, tetapi TM (tidak dibatasi) yang memutuskan masalah menjadi lebih kuat mengingat oracle.)
Ada banyak contoh lain juga. Hanya bermain dengan model perhitungan sedikit dan Anda dapat menemukan hasil serupa lainnya.
sumber