Biarkan nomor diberikan. Pertimbangkan bahasa berikut L n = { .
Dengan kata lain, adalah himpunan string salinan dengan panjang 2 n .
Pertimbangkan fungsi kompleksitas keadaan berikut sehingga s ( n ) adalah jumlah negara di Automata Pushdown terkecil yang mengenali L n .
Pertanyaan: Bisakah Anda secara resmi membuktikan batas bawah yang berarti untuk ?
Dugaan Saya: .
Upperbound yang dikenal: .
Aturan:
(1) Alfabet tumpukan harus biner.
(2) Pita input satu arah dan tidak dapat berhenti pada karakter input apa pun.
fl.formal-languages
automata-theory
grammars
context-free
Michael Wehar
sumber
sumber
Jawaban:
Teknik yang dijelaskan oleh Yuval:
Apakah ada CFG ukuran polinomial yang menjelaskan bahasa terbatas ini?
(Anda juga dapat membaca: Batas bawah pada ukuran CFG untuk bahasa terbatas tertentu )
memungkinkan untuk menunjukkan dengan sangat mudah batas bawah eksponensial untuk CFG. Biarkan tata bahasa di Chomsky Normal Form untuk L n . Untuk setiap kata w ∈ { 0 , 1 } n terdapat setidaknya satu non-terminal A ( w ) menerima subword s ( w ) dari w w memiliki panjang antara n / 2 dan n . Biarkan p ( w ) menjadi posisi dalam w wG L.n w ∈ { 0 , 1 }n A ( w ) s ( w ) w w n / 2 n p ( w ) ww di mana subword ini terjadi. Setidaknya ada bit yang umum untuk semua kata w , w ′ sehingga A ( w ) = A ( w ′ ) dan p ( w ) = p ( w ′ ) . Akibatnya, paling tidak ada 2 n / 2 kata yang memiliki A ( w ) dan p ( w ) yang sama . Karenanya setidaknya ada 2n/2 w,w′ A(w)=A(w′) p(w)=p(w′) 2n/2 A(w) p(w) bukan terminal.2Θ(n)
Selain itu, PDA dapat dikonversi menjadi CFG di CNF, dengan ukuran polinomial sehingga ini juga memberikan terikat pada kompleksitas keadaan L n .2Θ(n) Ln
sumber