Apakah treewidth

Biarkan $k$ diperbaiki, dan biarkan $G$ menjadi grafik (terhubung). Jika saya tidak salah, itu berasal dari karya Bodlaender [1, Teorema 3.11] bahwa jika treewidth $G$ kira-kira setidaknya $2k^3$ , maka $G$ berisi bintang $K_{1,k}$ sebagai minor.

Bisakah kita membuat istilah $2k^3$ lebih kecil? Artinya, apakah mengatakan treewidth setidaknya $k$ sudah menyiratkan keberadaan $K_{1,k}$ minor? Apakah ada bukti di suatu tempat?

[1] Bodlaender, HL (1993). Pada tes minor waktu linear dengan pencarian kedalaman-pertama. Jurnal Algoritma, 14 (1), 1-23.

Memang benar bahwa setiap graf tanpa K 1 , k minor memiliki treewidth paling k - 1 . Kami membuktikan ini di bawah, pertama beberapa definisi:$G$$K_{1,k}$$k-1$

Mari menjadi treewidth dari G dan ω ( G ) menjadi ukuran maksimum sebuah klik di G . Grafik H adalah triangulasi G jika G adalah subgraf H dan H adalah chordal (yaitu tidak memiliki siklus terinduksi pada setidaknya 4 simpul). Sebuah triangulasi H dari G adalah triangulasi minimal jika tidak ada subgraf tepat H juga merupakan triangulasi G . Subset X dari simpul $tw(G)$$G$$\omega(G)$$G$$H$$G$$G$$H$$H$$4$$H$$G$$H$$G$$X$$G$$H$$G$$X$$H$H

Rumus di atas menyiratkan bahwa untuk membuktikan bahwa cukup untuk membuktikan bahwa semua klik maksimal potensial memiliki ukuran paling banyak . Kami sekarang buktikan ini. Biarkan menjadi klik maksimal potensial , dan anggaplah .G k X G | X | ≥ k + $tw(G) \leq k-1$$G$$k$$X$$G$$|X| \geq k+1$

Kita akan menggunakan karakterisasi klik-klik maksimum potensial berikut: himpunan simpul adalah klik maksimal potensial dalam jika, dan hanya jika, untuk setiap pasangan , simpul tidak berbatasan (berbeda) dalam terdapat jalur dari ke di dengan semua simpul internal di luar . Karakterisasi ini dapat ditemukan di makalah Treewidth dan Minimum Fill-in: Mengelompokkan Pemisah Minimal oleh Bouchitte dan Todinca.G u v X P u , v u v G $X$$G$$u$$v$$X$$P_{u,v}$$u$$v$$G$$X$

Dengan karakterisasi ini adalah mudah untuk menurunkan kecil dari . Biarkan . Untuk setiap vertex , baik adalah tepi atau ada jalur dari ke dengan semua simpul internal yang luar . Untuk semua yang tidak berdekatan dengan kontrak semua simpul internal menjadi . Kita berakhir dengan minor di mana berdekatan dengan semua , dan X u ∈ X v ∈ X ∖ { u } u v G P u , v u v X v ∈ X u P u , v u G u X | X | ≥ k + 1 u $K_{1,k}$$X$$u \in X$$v \in X \setminus \{u\}$$uv$$G$$P_{u,v}$$u$$v$$X$$v \in X$$u$$P_{u,v}$$u$$G$$u$$X$$|X| \geq k+1$ . Jadi, derajat dalam minor ini setidaknya , melengkapi buktinya.$u$$k$