Saya ingin mencari algoritma waktu polinomial yang menentukan apakah rentang set matriks yang diberikan berisi matriks permutasi.
Jika ada yang tahu jika masalah ini dari kelas kompleksitas yang berbeda, itu akan sangat membantu.
EDIT: Saya telah menandai pertanyaan ini dengan Linear Programming, karena saya memiliki kecurigaan yang kuat bahwa jika solusi seperti itu ada, itu akan menjadi semacam algoritma pemrograman linier. Alasan saya percaya ini adalah karena titik-titik ekstrim dari polytope Birkhoff adalah matriks permutasi. Jika Anda kemudian dapat menemukan fungsi objektif yang dimaksimalkan atau diminimalisasi hanya pada simpul-simpul dari Birkhoff polytope, Anda dapat membatasi fungsi Anda ke persimpangan polytope dan subruang vektor Anda, kemudian memaksimalkannya dalam waktu polinomial. Jika nilai ini adalah matriks permutasi, Anda akan tahu set berisi permutasi. Itulah pemikiran saya tentang masalah ini.
EDIT 2: Setelah beberapa pemikiran lagi, tampak bagi saya bahwa matriks permutasi adalah unsur-unsur dari Birkhoff Polytope dengan norma Euclidean , kita mempertimbangkan polytope Birkhoff menjadi convex hull darimatriks permutasi. Mungkin itu juga penting.
EDIT 3: Saya menambahkan tag pemrograman semidefinite, karena setelah komentar saya sebelumnya, saya mulai berpikir bahwa solusi pemrograman semidefinite mungkin dilakukan karena sekarang algoritma optimasi kuadratik dibatasi linear.
sumber
Jawaban:
Tentu saja karena masalahnya tidak mungkin memiliki algoritma poli-waktu seperti yang diminta oleh op.
Inilah intuisinya. Masalah dalam pos adalah
Ini pada dasarnya sama dengan
Ini pada gilirannya sama dengan
Mengurangi Subset-Jumlah ke masalah terakhir adalah latihan standar.
Ini bukti terperinci.
Definisikan masalah antara berikut:
Membuktikan ini adalah latihan pekerjaan rumah standar. Buktinya ada di akhir.
Inilah bukti tertunda dari Lemma 1:
ps Sebagai tambahan, menurut jawaban ini , pembatasan Matching-Sum untuk instance dengan bobot tepi terikat polinomi ada di P. Tapi saya yakin bahwa batasan masalah di pos ke matriks dengan terikat secara polinomial (bilangan bulat ) entri tetap NP sulit.
sumber
Jika ini adalah representasi yang benar (tidak yakin), maka Anda bisa menambahkan batasan yang membatasi polytope ini untuk subruang yang Anda berikan. Tidak sulit untuk menyesuaikan SDP di bawah garis dengan representasi ini, tetapi saya memilih untuk tidak melewatinya untuk menjaga agar notasi dapat dikelola.
Saya tidak yakin apa perkiraan diameter untuk masalah Anda: ini mungkin memungkinkan Anda memutuskan apakah subruang yang diberikan dekat dengan matriks permutasi atau jauh dari semuanya, tapi saya belum menghitung perhitungannya.
tunduk pada:
Di atas rentang atas -dimensi vektor. Hal ini dapat ditulis sebagai SDP dalam cara standar dan merupakan relaksasi dari diameter , yaitu setidaknya diameter euclidean dari .vi n P α P
Sekarang saya mengklaim bahwa . Untuk menunjukkan ini, saya akan memberi Anda algoritma yang, diberikan dari nilai , menghasilkan panjang setidaknya . Algoritme hanyalah proyeksi acak: pilih vektor -dimensi acak di mana setiap adalah gaussian standar. Set . Menurut sifat standar gaussians:α≤O(logm−−−−−√)⋅diam(P) (vi)ni=1 α x∈P αO(logm√) n g gi x~i=gTvi
Dua persamaan sudah menyiratkan ada sehingga dan . Atau, menggunakan batas konsentrasi, Anda dapat menunjukkan bahwa dengan probabilitas konstan dan .x x∈P ∥x∥22≥1Clogm√α 12Clogm√x~∈P ∥x~∥2≥12α
sumber